已知直線l：y＝tanα(x＋2)交橢圓x²＋9y²＝9于A、B兩點(diǎn)，若α是直線l的傾角，且|AB|的長為小于橢圓短軸的長，求α的取值范圍．

設(shè)F₁、F₂為橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上的一點(diǎn)，已知P、F₁、F₂是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且|PF₁|＞|PF₂|，求的值．

某制衣廠庫存A、B兩種布料，A種有1800m，B種有1350m．現(xiàn)決定利用這些布料開發(fā)生產(chǎn)甲、乙兩種商品．經(jīng)設(shè)計(jì)，甲種商品每件需用A種布料5m，B種布料3m；乙種商品每件需用A種布料2m，B種布料3m；經(jīng)核算，甲種商品每件可獲純利潤20元，乙種商品每件可獲純利潤15元．甲、乙兩種商品各生產(chǎn)多少件能獲最大純利潤？

已知圓O₁的方程為x²＋y²－2x＝0，一個(gè)動(dòng)圓P與圓O₁外切且過定點(diǎn)O₂(－1，0)．

(1)求動(dòng)圓圓心P點(diǎn)的軌跡方程；

(2)所求P點(diǎn)軌跡上是否存在一點(diǎn)M，使⊥？若存在，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

已知直線l₁：mx－3y＋2＝0，和直線l₂：5x＋3y－n＝0．

(1)若l₁與l₂的夾角為，求m、n的取值或取值范圍；

(2)若l₁到l₂的角θ∈(，)，求m的取值范圍．

已知圓C：(x－1)²＋(y－2)²＝25及直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)．

(1)證明：不論m取何實(shí)數(shù)值，直線與圓C總相交；

(2)求直線l被圓C截得的弦長的最短長度及對(duì)應(yīng)的弦所在的直線方程．

已知圓系方程x²＋y²－2ax－4ay＋a²＝0(a≠0)．

(1)求出該圓系的圓心的軌跡方程；

(2)求出此圓系的公切線方程．

設(shè)平面向量＝(，－)，＝(，)，若存在不同時(shí)為0的兩個(gè)實(shí)數(shù)s、t及實(shí)數(shù)k＞0，使＝＋(t²－k)，＝－s＋t，且⊥．

(1)求函數(shù)關(guān)系式s＝f(t)；

(2)若函數(shù)s＝f(t)在[1，＋∞)是單調(diào)函數(shù)，求證：0＜k≤3．

附加題：

(3)設(shè)x₀≥1，f(x₀)≥1，且滿足f[f(x₀)]＝x₀，求證f(x₀)＝x₀．

海島上有座海拔1000m的山，山頂A有一觀測站，上午11時(shí)測得該船在島的北東處，俯角為，11時(shí)10分測得該船在島的北西處，俯角為．求：

(1)該船的速度是每小時(shí)多少公里？

(2)如果船的航向不變，它何時(shí)到達(dá)島的正西方向？此時(shí)所在點(diǎn)E離島多遠(yuǎn)？

如圖所示，支座A受兩個(gè)力作用，已知||＝70N，沿水平方向；||＝40N，與水平方向成θ角；兩個(gè)力的合力||＝100N，求角θ及合力與水平線的交角β．