Question

直線l與圓x²+y²+2x-4y+1=0相交于A，B兩點(diǎn)，若弦AB的中點(diǎn)為拋物線x²=4y的焦點(diǎn)，則直線l的方程為（　　）

• A、2x+3y-3=0
• B、x-y-1=0
• C、x+y-1=0
• D、x-y+1=0

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，即AB的中點(diǎn)，設(shè)出直線方程與圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂求得k，則直線方程可得．

解答： 解：由拋物線方程知2p=4，p=2，
∴拋物線焦點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，1），
當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，x=0帶入圓方程求得y=2±

3

，則

2+ 3 +2- 3

2

=2，此時(shí)AB的中點(diǎn)不在F點(diǎn)，
∴直線l的斜率存在，設(shè)直線方程為y=kx+1，帶入圓的方程得，
（k²+1）x²+（2-2k）x-2=0，
∵弦AB的中點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，1），
∴

1

2

（x₁+x₂）=

2-2k

k2+1

=0，
∴k=1，
∴直線l的方程為y=x+1，即x-y+1=0．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．解決此類問(wèn)題常設(shè)出直線方程與圓錐曲線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理采取設(shè)而不求的方式，來(lái)解決問(wèn)題．