【題目】設雙曲線的左頂點為D，且以點D為圓心的圓與雙曲線C分別相交于點A、B，如圖所示.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）求的最小值，并求出此時圓D的方程；

（3）設點P為雙曲線C上異于點A、B的任意一點，且直線PA、PB分別與x軸相交于點M、N，求證：為定值（其中O為坐標原點）.

【答案】（1）；（2），；（3）4.

【解析】

（1）由圓心為，為雙曲線的左頂點，解得，得到雙曲線C的方程.

（2）設，利用數(shù)量積運算得到，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

（3）設，得到直線PA的方程為：，令，得，同理，然后代入求解.

（1）因為圓的圓心為，且為左頂點，

所以，

所以雙曲線C的方程.

（2）設，

因為點A在雙曲線上，

所以，

所以，

所以當，取得最小值，

此時，又點A在圓上，所以，

所以圓D的方程.

（3）設，則直線PA的方程為：，

令，得，同理，

又點A，P在雙曲線上，

所以，

所以，

所以為定值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線，經(jīng)過點的直線與該雙曲線交于兩點.

（1）若與軸垂直，且，求的值；

（2）若，且的橫坐標之和為，證明：.

（3）設直線與軸交于點，求證：為定值.

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【題目】矩形中，，，點，分別是，上的動點，將矩形沿所在的直線進行隨意翻折，在翻折過程中直線與直線所成角的范圍(包含初始狀態(tài))為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為評估設備生產(chǎn)某種零件的性能，從該設備生產(chǎn)零件的流水線上隨機抽取100件零件作為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：

直徑/

78

79

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

93

合計

件數(shù)

1

1

3

5

6

19

33

18

4

4

2

1

2

1

100

經(jīng)計算，樣本的平均值，標準差，以頻率值作為概率的估計值.

（1）為評判一臺設備的性能，從該設備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為，并根據(jù)以下不等式進行評判（表示相應事件的頻率）：

①；②；③，評判規(guī)則為：若同時滿足上述三個不等式，則設備等級為甲；僅滿足其中兩個，則等級為乙；若僅滿足其中一個，則等級為丙；若全部不滿足，則等級為丁.試判斷設備的性能等級.

（2）將直徑小于等于的零件或直徑大于等于的零件認定為是“次品”，將直徑小于等于的零件或直徑大于等于的零件認定為是“突變品”，從樣本的“次品”中隨意抽取2件零件，求“突變品”個數(shù)的數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在等比數(shù)列中，已知設數(shù)列的前n項和為，且

（1）求數(shù)列通項公式；

（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；

（3）是否存在等差數(shù)列，使得對任意，都有？若存在，求出所有符合題意的等差數(shù)列；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線與直線相切于點，點與關于軸對稱．

（1）求拋物線的方程及點的坐標；

（2）設是軸上兩個不同的動點，且滿足，直線、與拋物線的另一個交點分別為，試判斷直線與直線的位置關系，并說明理由．如果相交，求出的交點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|.

(1)求f(x)的最小值m；

(2)若a，b，c均為正實數(shù)，且滿足a＋b＋c＝m，求證：＋＋≥3.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓，動圓與圓外切，且與直線相切，該動圓圓心的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程

（2）過點的直線與拋物線相交于兩點，拋物線在點A的切線與交于點N，求面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知定義在R上的函數(shù)在[1，2]上有且僅有3個零點，其圖象關于點和直線x對稱，給出下列結(jié)論：

①；

②函數(shù)f（x）在[0，1]上有且僅有3個極值點；

③函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞增；

④函數(shù)f（x）的最小正周期是2．

其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）

A.②③B.①④C.②③④D.①②

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