Question

△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=2

3

，cosA=-

1

2

，b=2．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）設(shè)f（x）=cos2x+2sin²（x+B），求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，將a，cosA，以及b的值代入求出c的值；
（Ⅱ）由cosA的值，求出A的度數(shù)，根據(jù)b=c，利用等邊對等角得到B=C=

π

6

，代入f（x）中利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可確定出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）在△ABC中，由a=2

3

，cosA=-

1

2

，b=2，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

4+c2-12

4c

=-

1

2

，
解得：c=2或c=-4（舍去），
則c的值為2；
（Ⅱ）∵cosA=-

1

2

，A為三角形的內(nèi)角，
∴A=

2π

3

，
∵b=c=2，
∴B=C=

π

6

，
∴f（x）=cos2x+2sin²（x+

π

6

）=cos2x+1-cos（2x+

π

3

）=cos2x-

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+1=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+1=sin（2x+

π

6

）+1，
即f（x）=sin（2x+

π

6

）+1，
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），得到kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z），
則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．

點(diǎn)評：此題考查了余弦定理，以及三角函數(shù)的恒等變換，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．