【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若,求的極值;
(Ⅱ)若在區(qū)間上恒成立,求的取值范圍;
(Ⅲ)判斷函數(shù)的零點個數(shù).(直接寫出結(jié)論)
【答案】(Ⅰ)有極大值,極大值為;沒有極小值;(Ⅱ);(Ⅲ)詳見解析.
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)極值的定義求解;(Ⅱ)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值;(Ⅲ)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和極值即可判斷.
解:(Ⅰ)當(dāng)時,定義域為.
因為,所以.
令,解得,
極大值 |
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.
所以有極大值,極大值為;沒有極小值.
(Ⅱ)因為,所以在上恒成立,即在恒成立.
設(shè)
①當(dāng)時,,不符合題意.
②當(dāng)時,
.
令,即,
因為方程的判別式,兩根之積. 所以有兩個異號根. 設(shè)兩根為,且,
i)當(dāng)時,
極大值 |
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,
所以,不符合題意;
ii)當(dāng)時,,即時,
在單調(diào)遞減,所以當(dāng)時,,符合題意.
綜上,.
(Ⅲ)當(dāng)或時,有個零點;當(dāng)且時,函數(shù)有個零點.
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【題目】設(shè)函數(shù).
(1) 討論的單調(diào)性;
(2) 設(shè),當(dāng)時, ,求的取值范圍.
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【題目】某熱帶風(fēng)暴中心B位于海港城市A東偏南30°的方向,與A市相距400km.該熱帶風(fēng)暴中心B以的速度向正北方向移動,影響范圍的半徑是350km.問:從此時起,經(jīng)多長時間后A市將受熱帶風(fēng)暴影響,大約受影響多長時間?
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【題目】某工廠生產(chǎn)一種汽車的元件,該元件是經(jīng)過、、三道工序加工而成的,、、三道工序加工的元件合格率分別為、、.已知每道工序的加工都相互獨立,三道工序加工都合格的元件為一等品;恰有兩道工序加工合格的元件為二等品;其它的為廢品,不進(jìn)入市場.
(Ⅰ)生產(chǎn)一個元件,求該元件為二等品的概率;
(Ⅱ)若從該工廠生產(chǎn)的這種元件中任意取出3個元件進(jìn)行檢測,求至少有2個元件是一等品的概率.
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【題目】判斷下列命題的真假:
(1)一次函數(shù)(是非零常數(shù))的圖象一定經(jīng)過點;
(2)直角三角形的外心一定在斜邊上;
(3)已知,則是的充要條件;
(4)如果都能被5整除,則也能被5整除.
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【題目】已知動點G(x,y)滿足
(1)求動點G的軌跡C的方程;
(2)過點Q(1,1)作直線L與曲線交于不同的兩點,且線段中點恰好為Q.求的面積;
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【題目】如圖,D是AC的中點,四邊形BDEF是菱形,平面平面ABC,,,.
若點M是線段BF的中點,證明:平面AMC;
求平面AEF與平面BCF所成的銳二面角的余弦值.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點為極點,軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的普通方程與曲線直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)為曲線上的動點,求點到上點的距離的最小值,并求此時點的坐標(biāo).
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