Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=ex+ax2（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在R上單調(diào)，且y=f′（x）有零點，求a的值；
（2）若對x∈[0，+∞），有 ≥1，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=ex+2ax，

記g（x）=ex+2ax，則g′（x）=ex+2a，

①a=0時，f（x）=ex，顯然不合題意；

②a＞0時，g′（x）＞0，f′（x）在R遞增，

∵f′（0）=1＞0，f′（﹣ ）＜0，

故y=f′（x）有唯一零點x1，顯然x∈（﹣∞，x1）時，f′（x）＜0，

x∈（x1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）在R不單調(diào)，不合題意；

③a＜0時，由g′（x）=0得x=ln（﹣2a），于是f′（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））遞減，

在（ln（﹣2a），+∞）遞增，因此要滿足條件，必須且只需f′[ln（﹣2a）]=0，

即﹣2a+2aln（﹣2a）=0，解得：a=﹣

（2）解：a＜0時，若x＞﹣ ，則ax+1＜0，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長速度知：

存在x0，當(dāng)x＞x0時，必有ex＞﹣ax2，即ex+ax2＞0，

因此x＞max{﹣ ，x0}，有 ＜0，顯然不合題意，

當(dāng)a≥0時，記h（x）=ex+ax2﹣ax﹣1，則 ≥1當(dāng)且僅當(dāng)h（x）≥0，

h′（x）=ex+2ax﹣a，顯然h′（x）在[0，+∞）遞增，

①a≤1時，由h′（0）=1﹣a＜1，h′（1）=e+a＞0，

得h′（x）=0在[0，+∞）上有且只有1個實數(shù)根，

不妨設(shè)該實根為x1，當(dāng)0＜x＜x1時，h′（x）＜0，從而h（x）在（0，x1）遞減，

故x∈（0，x1）時，h（x）＜h（0）=0，不合題意，

綜上，a的范圍是[0，1]

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的零點求出a的值即可；（2）通過討論a的范圍，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，從而確定滿足條件的a的范圍即可．
【考點精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．