Question

【題目】如圖，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ACC1A1⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，CA=CB，A1B⊥AC1 ．
（1）求證：平面A1BC⊥平面ABC1；
（2）若直線AA1與底面ABC所成的角為60°，求直線AA1與平面ABC1所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因?yàn)榈酌鍭BC是等腰直角三角形，CA=CB，所以BC⊥AC

因?yàn)閭?cè)面ACC1A1⊥底面ABC，側(cè)面ACC1A1∩底面ABC=AC，

所以BC⊥側(cè)面ACC1A1，所以AC1⊥BC，

又A1B⊥AC1，而A1B∩BC=B，

所以AC1⊥面A1BC，

又AC1面ABC1，所以面ABC1⊥面A1BC

（2）解：由題意，∠A1AC=60°，四邊形ACC1A1是菱形．

設(shè)AC=2，則AB=2 ，AC1=2 ，BC1=2 ，∴ = =

設(shè)A1到平面ABC1的距離為h，則 = ，

∴h= ，

∴直線AA1與平面ABC1所成角的正弦值= =

【解析】（1）推導(dǎo)出BC⊥側(cè)面ACC1A1 ， 所以AC1⊥BC，再由A1B⊥AC1 ， 得到AC1⊥面A1BC，由此能證明面ABC1⊥面A1BC．（2）利用等體積方法，求出A1到平面ABC1的距離，即可求直線AA1與平面ABC1所成角的正弦值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則才能正確解答此題．