Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝ex．

（1）若f（x）的圖象在x＝a處切線的斜率為e﹣1，求正數(shù)a的值；

（2）對(duì)任意的a≥0，f（x）＞2lnxk恒成立，求整數(shù)k的最大值．

Answer 1

【答案】（1）1（2）最大值為3．

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；

（2）原問(wèn)題等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究即可．

（1），

∵在x＝a處切線的斜率為e﹣1，

∴，

又a＞0，

∴a＝1；

（2）由題意，，即，

令，函數(shù)g（a）為一次函數(shù)，且為增函數(shù)，

∴g（a）≥g（0）＝ex﹣2lnx，

∴，

令h（x）＝ex﹣2lnx，（x＞0），則，

∴函數(shù)h′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

又x→0時(shí)，h′（x）→﹣∞，x＝1時(shí)，h′（1）＝e﹣2＞0，

∴存在x0∈（0，1），使得h′（x）＜0，h（x）為減函數(shù)，x∈（x0，+∞），使得h′（x）＞0，h（x）為增函數(shù)，

∴，

令，易知，函數(shù)m（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，

∴m（x）＞m（1）＝2，

∴，即k＜4，

故整數(shù)k的最大值為3．