Question

已知橢圓的長軸長是短軸長的兩倍，焦距為.

(1)求橢圓的標準方程;

(2)設(shè)不過原點的直線與橢圓交于兩點、，且直線、、的斜率依次成等比數(shù)列，求△面積的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(1) ；(2)△面積的取值范圍為 。

【解析】

試題分析：(1)由已知得 ∴方程：  （4分）

(2)由題意可設(shè)直線的方程為： 

聯(lián)立 消去并整理，得：

則△ ,

此時設(shè)、∴

于是  （7分）

又直線、、的斜率依次成等比數(shù)列，

∴  

由  得：  .又由△ 得：

顯然 （否則：，則中至少有一個為0，直線、 中至少有一個斜率不存在，矛盾！）                     （10分）

設(shè)原點到直線的距離為,則

故由得取值范圍可得△面積的取值范圍為 （13分）

考點：本題主要考查橢圓標準方程，直線與橢圓的位置關(guān)系。

點評：中檔題，曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題求橢圓標準方程時，主要運用了橢圓的定義及幾何性質(zhì)。（2）作為研究點到直線的距離最值問題，利用了函數(shù)思想。