Question

4．已知函數(shù)f（x）對任意的x∈R都滿足f（x）+f（-x）=0，當x≥0時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x，0≤x≤a}\\{-a，a＜x＜2a}\\{x-3a，x≥2a}\end{array}\right.$，（a＞0），若對?x∈R，都有f（x-2）≤f（x），則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{4}$）
• B． [$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$]
• C． （0，$\frac{1}{3}$]
• D． （0，$\frac{1}{3}$）

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）對任意的x∈R都滿足f（x）+f（-x）=0，可得函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．利用奇函數(shù)的對稱性畫出圖象．及其對?x∈R，都有f（x-2）≤f（x），即可得出．

解答 解：函數(shù)f（x）對任意的x∈R都滿足f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x），因此函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
當x≥0時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x，0≤x≤a}\\{-a，a＜x＜2a}\\{x-3a，x≥2a}\end{array}\right.$，（a＞0），利用對稱性畫出圖象．
∵對?x∈R，都有f（x-2）≤f（x），
∴將函數(shù)f（x）的圖象向右平移2個單位后的圖象在y=f（x）的圖象的非上方，
∴6a≤2，a＞0，
解得$0＜a≤\frac{1}{3}$．
則實數(shù)a的取值范圍是$0＜a≤\frac{1}{3}$．
故選：C．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調性，考查了數(shù)形結合思想方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．