Question

9．函數(shù)y=1+log_ax（a＞0，a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny-2=0上，其中mn＞0，則$\frac{1}{m}+\frac{3}{n}$的最小
值為（　　）

• A． 2+$\sqrt{3}$
• B． 2-$\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求出定點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入直線方程，得到m．n的關(guān)系，利用基本不等式求解最小值即可．

解答 解：函數(shù)y=1+log_ax（a＞0，a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A（1，1），若點(diǎn)A在直線mx+ny-2=0上，
可得m+n=2，
$\frac{1}{m}+\frac{3}{n}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{m}+\frac{3}{n}）（m+n）$=$\frac{1}{2}$$（1+3+\frac{n}{m}+\frac{3m}{n}）$=$2+\frac{n}{2m}+\frac{3m}{2n}$≥2+2$\sqrt{\frac{n}{2m}•\frac{3m}{2n}}$=2+$\sqrt{3}$．
當(dāng)且僅當(dāng)m=$\sqrt{3}-1$，n=$3-\sqrt{3}$時(shí)取等號(hào)．
表達(dá)式的最小值為：2+$\sqrt{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．