Question

16．若$\sqrt{x}+\sqrt{y}≤a\sqrt{x+y}$（x＞0，y＞0）恒成立，則a的最小值為（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 運(yùn)用參數(shù)分離可得a≥$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$恒成立，由不等式（$\frac{a+b}{2}$）²≤$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$，即可得到a的最小值．

解答 解：$\sqrt{x}+\sqrt{y}≤a\sqrt{x+y}$（x＞0，y＞0）恒成立，即為
a≥$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$恒成立，
由不等式（$\frac{a+b}{2}$）²≤$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$，即有a+b≤$\sqrt{2（{a}^{2}+^{2}）}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b取得等號(hào)．
則$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$≤$\sqrt{2（x+y）}$，
即有$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$≤$\frac{\sqrt{2（x+y）}}{\sqrt{x+y}}$=$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=y取得最大值．
則有a≥$\sqrt{2}$，即a的最小值為$\sqrt{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求法，注意運(yùn)用重要不等式，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．