Question

【題目】設(shè)函數(shù) ，的導(dǎo)函數(shù)為.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）對(duì)于曲線上的不同兩點(diǎn)，，，求證：在內(nèi)存在唯一的，使直線的斜率等于.

Answer 1

【答案】(1)a＞0時(shí)， 上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.時(shí)在（0，+∞）單調(diào)遞減. (2)見(jiàn)證明

【解析】

（1）對(duì)a分兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）即 只需證明，且唯一．再構(gòu)造函數(shù)證明得解.

解：（1），

又的定義域?yàn)?/span>

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，

該函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）∵，

∴，化簡(jiǎn)得

即

因此，要證明原命題成立，只需證明

，且唯一．

設(shè)， ①

則，

再設(shè)，，

∴，

∴在是增函數(shù)，

又，∴ ②

同理 ③

∵一次函數(shù)在上是增函數(shù)，

因此由①②③得在有唯一解，

故原命題成立．