【題目】如圖①,在直角梯形ABCD中,AD=1,AD∥BC,AB⊥BC,BD⊥DC,點E是BC邊的中點,將△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,連接AE,AC,DE,得到如圖②所示的幾何體.
(1)求證:AB⊥平面ADC;
(2)若AC與平面ABD所成角的正切值為,求二面角B—AD—E的余弦值。
【答案】(1)詳見解析;(2).
【解析】
(1)要證明線面垂直,由條件可知,再根據(jù)面面垂直轉(zhuǎn)化為證明,再根據(jù)線面垂直判斷定理證明;
(2)由(1)可知,因為AD=1,所以CD=,設(shè)AB=x(x>0),則BD=,因為△ABD∽△DCB,所以=,即,求得邊長,再取過A作AOBD于O,則AO平面BDC,過O作OG//DC交BC于G,以O為坐標原點 OB,OG,OA分別為x.y.z軸非負半軸建立空間直角坐標系,利用向量的坐標法求二面角的余弦值.
(1)證明 因為平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BD⊥DC,DC平面BCD,
所以DC⊥平面ABD.
因為AB平面ABD,所以DC⊥AB,
又因為AD⊥AB,且DC∩AD=D,
所以AB⊥平面ADC.
(2)解 由(1)知DC⊥平面ABD,所以∠DAC為AC與平面ABD所成角.
依題意得tan∠DAC==,
因為AD=1,所以CD=,
設(shè)AB=x(x>0),則BD=,
因為△ABD∽△DCB,所以=,即,
解得x=,故AB=,BD=.
過A作AOBD于O,則AO平面BDC,過O作OG//DC交BC于G,以O為坐標原點 OB,OG,OA分別為x.y.z軸非負半軸建立空間直角坐標系如圖所示
面ABD法向量可取
DO=,OA=
D(,0,0) A(0,0,),,
,所以 ,
設(shè)面DAE法向量為則
取
又二面角B—AD—E是銳角,所以所求二面角的余弦值為。
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【題目】橢圓經(jīng)過點,左、右焦點分別是,,點在橢圓上,且滿足的點只有兩個.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過且不垂直于坐標軸的直線交橢圓于,兩點,在軸上是否存在一點,使得的角平分線是軸?若存在求出,若不存在,說明理由.
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【題目】(本小題共14分)
如圖,在四棱錐中, 平面,底面是菱形, .
(Ⅰ)求證: 平面
(Ⅱ)若求與所成角的余弦值;
(Ⅲ)當平面與平面垂直時,求的長.
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【題目】橢圓的中心在坐標原點,焦點在軸上,過坐標原點的直線交于兩點,,面積的最大值為
(1)求橢圓的方程;
(2)是橢圓上與不重合的一點,證明:直線的斜率之積為定值;
(3)當點在第一象限時,軸,垂足為,連接并延長交于點,求的面積的最大值.
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【題目】下列結(jié)論中錯誤的是( )
A.“﹣2<m<3”是方程表示橢圓”的必要不充分條件
B.命題p:,使得的否定
C.命題“若,則方程有實根”的逆否命題是真命題
D.命題“若,則且”的否命題是“若,則或”
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【題目】已知圓C過兩點A(0,4),B(4,6),且圓心在直線x﹣2y﹣2=0上.
(1)求圓C的方程;
(2)若直線l過原點且被圓C截得的弦長為6,求直線l的方程.
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【題目】設(shè)函數(shù) ,的導函數(shù)為.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)對于曲線上的不同兩點,,,求證:在內(nèi)存在唯一的,使直線的斜率等于.
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【題目】在直角坐標系xOy中,直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線的極坐標方程為,直線與曲線C交于兩點.
(1)求直線的普通方程和曲線C的直角坐標方程;
(2)求.
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【題目】在平面直角坐標系中,橢圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為.
(1)求橢圓的極坐標方程和直線的直角坐標方程;
(2)若點的極坐標為,直線與橢圓相交于,兩點,求的值.
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