【題目】設(shè),分別為橢圓:的左右焦點(diǎn),已知橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn),的距離之和為4.

(1)求橢圓的方程;

(2)過點(diǎn)作直線交橢圓于,兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,連結(jié)并延長交橢圓于點(diǎn)(為坐標(biāo)原點(diǎn)),若,,等比數(shù)列,求線段的方程.

【答案】（1）.（2）.

【解析】

（1）根據(jù)橢圓定義，代入點(diǎn)，得到和，從而得到橢圓方程；（2）根據(jù)（1）得到，根據(jù)題意得到，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，說明不成立，當(dāng)直線斜率存在，設(shè)為，與橢圓聯(lián)立得到，，再得到點(diǎn)坐標(biāo)，求出方程，得到，利用弦長公式，得到，從而得到關(guān)于的方程，解得值，得到的方程.

解:（1）因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)，的距離之和為4

所以，即，

將點(diǎn)代入橢圓方程得，得，

故橢圓方程為.

（2）因?yàn)?/span>，

所以焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，，

因?yàn)?/span>，，成等比數(shù)列，

所以.

①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，則所求方程為，，.

顯然不符合題意.

②當(dāng)直線斜率存在，并設(shè)直線方程為，

代入得，

設(shè)，，則，，

所以，，

即點(diǎn)坐標(biāo)為，

所以可得直線方程為:，

代入橢圓方程解得，，

故，

又因?yàn)?/span>，

代入，得，解得，

故直線的方程為.

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