Question

【題目】已知f（x）是定義在區(qū)間[﹣1，1]上的奇函數(shù)，且f（﹣1）=1，若m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0時(shí)，有 ＜0．
（1）解不等式f（x+ ）＜f（1﹣x）；
（2）若f（x）≤t2﹣2at+1對(duì)所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：令m=x1，n=﹣x2，且﹣1≤x1＜x2≤1，

代入 ＜0得 ＜0．

∵x1＜x2

∴f（x1）＞f（x2）

按照單調(diào)函數(shù)的定義，可知該函數(shù)在[﹣1，1]上單調(diào)遞減．

原不等式f（x+ ）＜f（1﹣x）等價(jià)于 ，

∴ ＜x＜

（2）解：由于f（x）為減函數(shù)，∴f（x）的最大值為f（﹣1）=1，

∴f（x）≤t2﹣2at+1對(duì)x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，等價(jià)于t2﹣2at+1≥1對(duì)任意的a∈[﹣1，1]恒成立，

即t2﹣2at≥0對(duì)任意的a∈[﹣1，1]恒成立．

把y=t2﹣2at看作a的函數(shù)，由于a∈[﹣1，1]知其圖象是一條線段．

∵t2﹣2at≥0對(duì)任意的a∈[﹣1，1]恒成立

∴ ，

∴ ，

解得t≤﹣2或t=0或t≥2

【解析】（1）令m=x1 ， n=﹣x2 ， 且﹣1≤x1＜x2≤1，代入條件，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判定；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的定義域建立不等式組，解之即可．（2）由于f（x）為減函數(shù)，可得f（x）的最大值為f（﹣1）=1．f（x）≤t2﹣2at+1對(duì)a∈[﹣1，1]，x∈[﹣1，1]恒成立t2﹣2at+1≥1對(duì)任意a∈[﹣1，1]恒成立t2﹣2at≥0對(duì)任意a∈[﹣1，1]恒成立．看作a的一次函數(shù)，即可得出．