Question

【題目】已知函數(shù)（， ），且對(duì)任意，都有.

（Ⅰ）用含的表達(dá)式表示；

（Ⅱ）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)， ，且，求出的取值范圍，并證明；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）見解析

【解析】試題分析：利用賦值法求出關(guān)系，求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，要求函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，只需在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根，利用一元二次方程的根的分布求出的取值范圍，再根據(jù)函數(shù)圖象和極值的大小判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

試題解析：（Ⅰ）根據(jù)題意：令，可得，

所以，

經(jīng)驗(yàn)證，可得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都有，

所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，且，

所以 ，

令，要使存在兩個(gè)極值點(diǎn)， ，則須有有兩個(gè)不相等的正數(shù)根，所以

或

解得或無解，所以的取值范圍，可得，

由題意知 ，

令 ，則 ．

而當(dāng)時(shí)， ，即，

所以在上單調(diào)遞減，

所以

即時(shí)， ．

（Ⅲ）因?yàn)?/span> ， ．

令得， ．

由（Ⅱ）知時(shí)， 的對(duì)稱軸， ， ，所以.

又，可得，此時(shí)， 在上單調(diào)遞減， 上單調(diào)遞增， 上單調(diào)遞減，所以 最多只有三個(gè)不同的零點(diǎn)．

又因?yàn)?/span>，所以在上遞增，即時(shí)， 恒成立．

根據(jù)（2）可知且，所以，即，所以，使得．

由，得，又， ，

所以恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)： ，1， ．

綜上所述， 恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)．