Question

有下列說法：
①S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，若S_n=n²+n+1，則數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
②若實數(shù)x，y滿足x²+y²=4，則

xy

x+y-2

的最小值是1-

2

；
③在△ABC中，a，b，c分別是角A、B、C的對邊，若acosA=bcosB，則△ABC 為等腰直角三角形；
④△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要條件．
其中正確的有

 

．（填上所有正確命題的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用,必要條件、充分條件與充要條件的判斷,基本不等式在最值問題中的應(yīng)用,三角形的形狀判斷

專題：簡易邏輯

分析：①利用a_n=

S1，n=1 Sn-SN-1，n＞2

求出數(shù)列{a_n}的通項公式，判斷①的正誤；
②令x=2cosθ，y=2sinθ，則要求的式子化為

sin2θ

sinθ+cosθ-1

，再令 cosθ+sinθ=t=

2

sin（θ+

π

4

），要求的式子即t+1，由此求得它的最小值，判斷②的正誤；
③根據(jù)正弦定理把等式acosA=bcosB的邊換成角的正弦，再利用倍角公式化簡整理得sin2A=sin2B，進而推斷A=B，或A+B=90°，即可判斷③的正誤；
④通過正弦定理直接判斷是否是充要條件即可．

解答： 解：對于①：∵S_n=n²+n+1
∴當n=1時，a₁=S₁=1+1+1=3．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²+n+1-[（n-1）²+（n-1）+1]=2n．
∴a_n=

3，n=1 2n，n≥2

，
∵a₂-a₁=1≠a₃-a₂=2
∴數(shù)列{a_n}不是等差數(shù)列，∴①不正確；
對于②，解：令x=2cosθ，y=2sinθ，則

xy

x+y-2

=

4sinθcosθ

2sinθ+2cosθ-2

=

sin2θ

sinθ+cosθ-1

，
再令 cosθ+sinθ=t=

2

sin（θ+

π

4

），t∈[-

2

，

2

]，平方可得 sin2θ=t²-1，
∴

xy

x+y-2

=

t2-1

t-1

=t+1∈[1-

2

，1+

2

]，故

xy

x+y-2

的最小值是1-

2

，∴②正確；
對于③，根據(jù)正弦定理以及acosA=bcosB，
∴sinAcosA=sinBcosB
∴sin2A=sin2B
∴A=B，或2A+2B=180°即A+B=90°，
∴△ABC為等腰或直角三角形，∴③不正確；
對于④，a＞b⇒sinA＞sinB；sinA＞sinB⇒a＞b∴△ABC中，∠A＞∠B是sinA＞sinB的充要條件，∴④正確；
故答案為：②④．

點評：本題主要考查數(shù)列是等差數(shù)列的判斷，圓的參數(shù)方程，正弦函數(shù)的值域，正弦定理的應(yīng)用，充要條件的判斷，屬于中檔題．