Question

已知

x-y+2≥0 x+y-4≥0 2x-y-5≤0

求：
（Ⅰ）z=x+2y-4的最大值；
（Ⅱ）z=x²+y²-10y+25的最小值；
（Ⅲ）z=

2y+1

x+1

的范圍．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）作出不等式組對應的平面區(qū)域利用z=x+2y-4的幾何意義，即可求最大值；
（Ⅱ）z=x²+y²-10y+25的幾何意義為兩點間的距離的平方；
（Ⅲ）z=

2y+1

x+1

=2•

y+ 1 2

x+1

的幾何意義為兩點之間斜率的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）作出可行域如圖所示，并求出頂點的坐標A（1，3）、B（3，1）、C（7，9）．
易知可行域內(nèi)各點均在直線x+2y-4=0的上方，故x+2y-4＞0，
將點C（7，9）代入z得最大值為21．（紅線部分）
（Ⅱ）z=x²+y²-10y+25=x²+（y-5）²表示可行域內(nèi)任一點（x，y）到定點M（0，5）的距離的平方，
過M作直線AC的垂線，易知垂足N在線段AC上，
故z的最小值是|MN|²=

9

2

．（綠線部分）
（Ⅲ）z=

2y+1

x+1

=2•

y+ 1 2

x+1

的幾何意義表示為區(qū)域內(nèi)的動點P（x，y）與定點D（-1，-

1

2

）連線斜率的2倍．
由圖象可知DA的斜率最小為k=

7

4

，DB的斜率最大為k=

3

8

，
即

3

8

≤k≤

7

4

，
即

3

4

≤2k≤

7

2

，（藍色線部分）
即z的取值范圍是[

3

4

，

7

2

]．

點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．要求熟練掌握常見目標函數(shù)的幾何意義．