如圖，已知P是矩形ABCD內(nèi)任意一點，延長BP交AD于E，延長DP交AB于F，延長CP交矩形的外接圓于G．求證：GE⊥GF．
考點：與圓有關的比例線段
專題：直線與圓
分析：設CG交AD于Q，延長DF、CB交于R，由已知條件利用三角形相似推導出
AF
FB
=
BC
BR
，
BC
BR
=
QE
ED
，從而得到
AF
FB
=
QE
ED
，推導出△FBG∽△EDG，由此能夠證明GE⊥GF．
解答： 證明：設CG交AD于Q，
∵∠GBA=∠GDA，∠AGB=∠CGD，
∴△ABG∽△QDG，
延長DF、CB交于R，
∵ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴AD∥BR，AD=BC
∴
AF
FB
=
BC
BR
  ①
又∵RC∥AD，∴△CPB∽△QPE，△RPB∽△DPE，
∴
BC
BR
=
QE
ED
，②
由①，②得
AF
FB
=
QE
ED
，
∵F，E是△ABG，△QDG的相似對應點，
∴△FBG∽△EDG，
∴∠FGB=∠EGD，∠FGE=∠BGD=90°，
∴GE⊥GF．
點評：本題考查直線垂直的證明，是中檔題，解題時要注意三角形相似的證明與應用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知x+y+4＞3x+y-2＞0，若x-y＜λ恒成立，則λ取值范圍是（　�。�
A、[9，+∞）
B、（9，+∞）
C、[10，+∞）
D、（10，+∞）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+xsinx+cosx．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若曲線y=f（x）在點（a，f（a））處與直線y=b相切，求a與b的值．
（3）若曲線y=f（x）與直線y=b 有兩個不同的交點，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x-
a
x
-lnx，a＞0．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若f（x）＞x-x2在（1，+∞）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，梯形ABCD的底邊AB在y軸上，原點O為AB的中點，|AB|=
4
2
3
，|CD|=2-
4
2
3
，AC⊥BD．M為CD的中點．
（Ⅰ）求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）過M作AB的垂線，垂足為N，若存在正常數(shù)λ0，使
MP
=λ0
PN
，且P點到A、B的距離和為定值，求點P的軌跡E的方程；
（Ⅲ）過（0，
1
2
）的直線與軌跡E交于P、Q兩點，求△OPQ面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點（0，1），其長軸、焦距和短軸的長的平方依次成等差數(shù)列．直線l與x軸正半軸和y軸分別交于點Q、P，與橢圓分別交于點M、N，各點均不重合且滿足
PM
=λ1
MQ
，
PN
=λ2
NQ
．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若λ1+λ2=-3，試證明：直線l過定點并求此定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求由約束條件
x+y≤5
2x+y≤6
x≥0，y≥0
確定的平面區(qū)域的面積S和目標函數(shù)z=4x+3y的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

有下列說法：
①Sn是數(shù)列{an}的前n項和，若Sn=n2+n+1，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列；
②若實數(shù)x，y滿足x2+y2=4，則
xy
x+y-2
的最小值是1-
2
；
③在△ABC中，a，b，c分別是角A、B、C的對邊，若acosA=bcosB，則△ABC 為等腰直角三角形；
④△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要條件．
其中正確的有
 
．（填上所有正確命題的序號）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點M（x，y）滿足
x≥1
x-y+1≥0
2x-y-2≤0
，則
2x+y
2x+6
的最大值為
 
．

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