Question

函數(shù)f（x）=Asin（ωx+θ），（A＞0，ω＞0，|θ|＜

π

2

）的圖象如圖，求：
（1）這段曲線的函數(shù)解析式；
（2）函數(shù)g（x）=Acos（ωx+φ）（-π≤φ≤π）的圖象向右平移

π

2

個(gè)單位后，與函數(shù)f（x）=Asin（ωx+θ）的圖象重合，求φ；
（3）若x∈[-

2π

3

，-

π

6

]時(shí)，m+f（x+π）≥tanθ恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由圖象求得A值及周期，由周期公式求得ω，再由五點(diǎn)作圖的第二點(diǎn)求得φ，則函數(shù)解析式可求；
（2）把（1）中求得的A，ω值代入g（x）=Acos（ωx+φ），求出g（x）的圖象向右平移

π

2

個(gè)單位所得圖象的解析式，由圖象與f（x）=Asin（ωx+θ）的圖象重合求得φ；
（3）把（1）中求得的θ值代入m+f（x+π）≥tanθ，分離m后再由x的范圍求出tanθ-f（x+π）的最大值，則m的范圍可求．

解答： 解：（1）由圖可知，A=

2

，

3T

4

=

5π

6

-

π

12

=

3π

4

，
∴T=π，則ω=

2π

T

=

2π

π

=2，
由五點(diǎn)作圖第二點(diǎn)得：2×

π

12

+θ=

π

2

，得θ=

π

3

．
∴f（x）=

2

sin（2x+

π

3

）；
（2）g（x）=

2

cos（2x+φ）的圖象向右平移

π

2

個(gè)單位得到：
y=

2

cos(2x-π+φ)=

2

sin(2x+φ-

π

2

)，
∵該函數(shù)圖象與f（x）=

2

sin（2x+

π

3

）的圖象重合，
∴φ-

π

2

=

π

3

+2kπ，φ=

5π

6

+2kπ，k∈Z．
∵-π≤φ≤π，
∴φ=

5π

6

；
（3）由m+f（x+π）≥tanθ恒成立，
即m≥tan

π

3

-

2

sin（2x+2π+

π

3

）=

3

-

2

sin(2x+

π

3

)恒成立．
∵x∈[-

2π

3

，-

π

6

]，
∴2x+

π

3

∈[-π，0]，
則

3

-

2

sin(2x+

π

3

)∈[

3

，

3

+

2

]，
∴m≥

3

+

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求函數(shù)解析式，考查了三角函數(shù)圖象的平移，訓(xùn)練了三角恒等式的解法，由三角函數(shù)的單調(diào)性求解三角函數(shù)的值域是解答（3）的關(guān)鍵，是中檔題．