Question

已知數列{a_n}的前n項和是S_n，且S_n+

1

3

a_n=1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=log₄（1-S_n+1）（n∈N^*），T_n=

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

，求使T_n≥

1007

2016

成立的最小的正整數n的值．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：計算題,等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）n=1時，易求a₁=

3

4

，當n≥2時，S_n+

1

3

a_n=1①，S_n-1+

1

3

a_n-1=1②，①-②可得數列遞推式，由此可判斷{a_n}是等比數列，從而可求a_n．   
（Ⅱ）由（1）可求得b_n，利用裂項相消法可求得T_n，然后可解得不等式T_n≥

1007

2016

得到答案；

解答： 解：（Ⅰ）當n=1時，a₁=S₁，由S₁+

1

3

a₁=1⇒a₁=

3

4

，
當n≥2時，S_n+

1

3

a_n=1①，S_n-1+

1

3

a_n-1=1②，
①-②，得an+

1

3

an-

1

3

an-1=0，即a_n=

1

4

a_n-1，
∴{a_n}是以

3

4

為首項，

1

4

為公比的等比數列．                     
故a_n=

3

4

(

1

4

)n-1=3(

1

4

)n（n∈N^*）；
（Ⅱ）由（1）知1-S_n+1=

1

3

an+1=(

1

4

)n+1，
b_n=log₄（1-S_n+1）=log4(

1

4

)n+1=-（n+1），

1

bnbn+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
T_n=

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n+1

-

1

n+2

）=

1

2

-

1

n+2

，

1

2

-

1

n+2

≥

1007

2016

⇒n≥2014，

故使T_n≥

1007

2016

成立的最小的正整數n的值n=2014．

點評：本題考查由數列遞推式求通項、數列求和、等比數列的概念及不等式，考查學生綜合運用知識解決問題的能力，裂項相消法對數列求和是高考考查的重點內容，要熟練掌握．