Question

已知函數(shù)f（x）=[ln（a+x）]²+2ln（a+x）-2x，若x=0是函數(shù)f（x）的極值點，試證明：函數(shù)f（x）在（0，1）是減函數(shù)．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，x=0是函數(shù)f（x）的極值點，則f′（0）=0，通過g（x）=lnx-x+1的單調(diào)性和最值，可得a=1，再求f（x）的導(dǎo)數(shù)，運用g（x）的單調(diào)性，即可證得f（x）在（0，1）的導(dǎo)數(shù)小于0，進(jìn)而得證．

解答： 證明：函數(shù)f（x）=[ln（a+x）]²+2ln（a+x）-2x的導(dǎo)數(shù)
f′（x）=2ln（a+x）•

1

a+x

+

2

a+x

-2，
x=0是函數(shù)f（x）的極值點，則f′（0）=0，
即有2lna•

1

a

+

2

a

-2=0，
即為lna-a+1=0，
令g（x）=lnx-x+1，
由（lnx-x+1）′=

1

x

-1，當(dāng)x＞1時，g′（x）＜0，g（x）遞減，
當(dāng)0＜x＜1時，g′（x）＞0，g（x）遞增，
則有g(shù)（x）≤g（1），即為lnx-x+1≤0，
則lna-a+1=0，解得a=1，
則f（x）=[ln（1+x）]²+2ln（1+x）-2x的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=2ln（1+x）•

1

x+1

+

2

x+1

-2=

2

x+1

[ln（x+1）-（x+1）+1]，
由0＜x＜1，則1＜x+1＜2，
則ln（x+1）-（x+1）+1＜0，
即有f′（x）＜0，
則函數(shù)f（x）在（0，1）是減函數(shù)．

點評：本題考查函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，考查運用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題．