Question

若點(diǎn)P（a，b）在函數(shù)y=-x²+3lnx的圖象上，點(diǎn)Q（c，d）在函數(shù)y=x+2上，則（a-c）²+（b-d）²的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用

專題：轉(zhuǎn)化思想,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先求出與直線y=x+2平行且與曲線y=-x²+3lnx相切的直線y=x+m．再求出此兩條平行線之間的距離（的平方）即可得出．

解答： 解：設(shè)直線y=x+m與曲線y=-x²+3lnx相切于P（x₀，y₀），
由函數(shù)y=-x²+3lnx，∴y′=-2x+

3

x

，
令-2x₀+

3

x0

=1，又x₀＞0，解得x₀=1．
∴y₀=-1+3ln1=-1，
可得切點(diǎn)P（1，-1）．
代入-1=1+m，解得m=-2．
可得與直線y=x+2平行且與曲線y=-x²+3lnx相切的直線y=x-2．
而兩條平行線y=x+2與y=x-2的距離d=

|-2-2|

2

=2

2

．
∴（a-c）²+（b-d）²的最小值=（2

2

）²=8．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的方程、兩條平行線之間的距離、最小值的轉(zhuǎn)化問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．