Question

【題目】
（1）設(shè)函數(shù) ，求 的最大值；
（2）試判斷方程 在 內(nèi)存在根的個數(shù)，并說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng) 時(shí)，若 ， ，

若 ，由 ，可知 ，故 .

當(dāng) 時(shí)，由 ，可得：

時(shí)， ， 單調(diào)遞增； 時(shí)， ， 單調(diào)遞減，

可知 ，且 .

綜上可得，函數(shù) 的最大值為 .

（2）解：方程 在 內(nèi)存在唯一的根.

理由如下：設(shè) ，

當(dāng) 時(shí)， ，

又 ，

所以存在 ，使得： .

因?yàn)? ，

所以當(dāng) 時(shí)， ，

當(dāng) 時(shí)， ，

所以當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞增，

所以方程 在 內(nèi)存在唯一的根.

【解析】對于（1）分段函數(shù)最值的研究，要結(jié)合分段函數(shù)的導(dǎo)致，分別求出最值，各段最大值的最大者就是最大值，要注意分類討論。
對于（2）判斷方程的實(shí)根個數(shù)時(shí)，往往通過函數(shù)的導(dǎo)致，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的零點(diǎn)推出結(jié)果。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減，以及對函數(shù)的極值的理解，了解極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況．