Question

【題目】已知函數(shù) .
（1）當 時，求 的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè) ， 是曲線 圖象上的兩個相異的點，若直線 的斜率 恒成立，求實數(shù) 的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù) 有兩個極值點 ， ，且 ，若 恒成立，求實數(shù) 的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）解： ，

令 或 ，

的單調(diào)增區(qū)間為 ；單調(diào)減區(qū)間為 .

（2）解： ，所以 ，

令 在 上單調(diào)遞增，

，對 恒成立，

,對 恒成立，

又 ，當 時取等號，

，故 .

（3）解： ，因為函數(shù) 有兩個極值點 ，所以 是方程 的兩個根，即，所以是 方程 的兩個根，

所以有 ，

∴

令 ，則 ，設(shè) ，

∴ ，

∴ 在 上單減，∴ ，

故 .

【解析】（1）根據(jù)題意求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負來判斷f ( x ) 的單調(diào)性。（2）根據(jù)題意可知構(gòu)造函數(shù)并確定函數(shù)的單調(diào)性，分離參數(shù)即可求出a的取值范圍。（3）由已知利用韋達定理整理f(x1)f(x1)的代數(shù)式，整體代換令 x 12= x構(gòu)造函數(shù) g ( x )=,對其求導(dǎo)利用導(dǎo)函數(shù)的正負確定原函數(shù)的單調(diào)性，即可求出最值進而可求出m的取值范圍。
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識，掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．