【題目】設(shè)函數(shù),其中, 是自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)若是上的增函數(shù),求的取值范圍;
(Ⅱ)若,證明: .
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)見解析.
【解析】試題分析:(I)由于函數(shù)單調(diào)遞增,故導(dǎo)函數(shù)恒為非負(fù)數(shù),分離常數(shù)后利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值,由此得到的取值范圍;(II)將原不等式,轉(zhuǎn)化為,令,求出的導(dǎo)數(shù),對分成兩類,討論函數(shù)的最小值,由此證得,由此證得.
試題解析:
(Ⅰ), 是上的增函數(shù)等價于恒成立.
令,得,令().以下只需求的最大值.
求導(dǎo)得,
令, , 是上的減函數(shù),
又,故1是的唯一零點,
當(dāng), , , 遞增;當(dāng), , , 遞減;
故當(dāng)時, 取得極大值且為最大值,
所以,即的取值范圍是.
(Ⅱ) .
令(),以下證明當(dāng)時, 的最小值大于0.
求導(dǎo)得 .
①當(dāng)時, , ;
②當(dāng)時, ,令,
則 ,又 ,
取且使,即,則 ,
因為,故存在唯一零點,
即有唯一的極值點且為極小值點,又,
且,即,故,
因為,故是上的減函數(shù).
所以 ,所以.
綜上,當(dāng)時,總有.
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【題目】“數(shù)列{an}成等比數(shù)列”是“數(shù)列{lgan+1}成等差數(shù)列”的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
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【題目】【2017廣東佛山二模】某保險公司針對企業(yè)職工推出一款意外險產(chǎn)品,每年每人只要交少量保費,發(fā)生意外后可一次性獲賠50萬元.保險公司把職工從事的所有崗位共分為、、三類工種,根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計出三類工種的每賠付頻率如下表(并以此估計賠付概率).
(Ⅰ)根據(jù)規(guī)定,該產(chǎn)品各工種保單的期望利潤都不得超過保費的20%,試分別確定各類工種每張保單保費的上限;
(Ⅱ)某企業(yè)共有職工20000人,從事三類工種的人數(shù)分布比例如圖,老板準(zhǔn)備為全體職工每人購買一份此種保險,并以(Ⅰ)中計算的各類保險上限購買,試估計保險公司在這宗交易中的期望利潤.
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【題目】【2017福建三明5月質(zhì)檢】已知函數(shù), .
(Ⅰ)當(dāng)時,求證:過點有三條直線與曲線相切;
(Ⅱ)當(dāng)時, ,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】某展覽館用同種規(guī)格的木條制作如圖所示的展示框,其內(nèi)框與外框均為矩形,并用木條相互連結(jié),連結(jié)木條與所連框邊均垂直.水平方向的連結(jié)木條長均為8cm,豎直方向的連結(jié)木條長均為4cm,內(nèi)框矩形的面積為3200cm2 . (不計木料的粗細(xì)與接頭處損耗)
(1)如何設(shè)計外框的長與寬,才能使外框矩形面積最。
(2)如何設(shè)計外框的長與寬,才能使制作整個展示框所用木條最少?
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【題目】(本題滿分12分)某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機抽取該流水線上件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量(單位:克),重量的分組區(qū)間為,, ,,由此得到樣本的頻率分布直方圖,如圖所示.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,求重量超過克的產(chǎn)品數(shù)量;
(2)在上述抽取的件產(chǎn)品中任取件,設(shè)為重量超過克的產(chǎn)品數(shù)量,求的分布列;
(3)從該流水線上任取件產(chǎn)品,求恰有件產(chǎn)品的重量超過克的概率.
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【題目】已知△ABC的三內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,△ABC的面積S= 且sinA= .
(1)求sinB;
(2)若邊c=5,求△ABC的面積S.
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【題目】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,延長A1C1至點P,使C1P=A1C1 , 連接AP交棱CC1于點D.以A1為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.
(1)寫出A1、B、B1、C、D、P的坐標(biāo);
(2)求異面直線A1B與PB1所成角的余弦值.
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