Question

已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，a₁=

2

3

，且S₂+

1

2

a₂=1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記b_n=log 

1

3

a 2 n

4

，求數(shù)列{

bn

an

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，列出方程組求出q=

1

3

，代入通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出數(shù)列{

bn

an

}的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減的方法求出數(shù)列{

bn

an

}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
由題意得

2

3

+

2

3

q+

1

2

•

2

3

q=1
解得q=

1

3

∴an=a1qn-1=

2

3

•(

1

3

)n-1=

2

3n

（Ⅱ）記b_n=log 

1

3

a 2 n

4

=log332n=2n，
又an=

2

3n

∴

bn

an

=n•3n
∴Tn=1×31+2×32+3×33+…+（n-1）×3^n-1+n×3ⁿ①
3Tn=1×32+2×33+3×34+…+（n-1）×3ⁿ+n×3ⁿ⁺¹②
由①-②得-2Tn=3+32+33+34+…+3n-n×3n+1=

3(1-3n)

1-3

-n•3n+1
=

3

2

(3n-1)-n•3n+1
=(

1

2

-n)•3n+1-

3

2

Tn=

3

4

+

1

4

(2n-1)•3n+1；

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；考查數(shù)列前n項(xiàng)和的方法；錯(cuò)位相減與裂項(xiàng)相消是常見的方法．