Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；

（2）若對任意x∈[1，＋∞），f（x）>0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2） （－3，＋∞）.

【解析】試題分析：（1） 先根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義確定函數(shù)在[1，＋∞） 單調(diào)性：f（x）在區(qū)間[1，＋∞）上為增函數(shù)，再根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值取法：f（x）在區(qū)間[1，＋∞）上的最小值為f（1）＝. （2）不等式恒成立問題，一般利用變量分離轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題： a＞－（x2＋2x）的最大值，再根據(jù)二次函數(shù)最值求法得－（x2＋2x）在[1，＋∞）上為－3，即得實(shí)數(shù)a的取值范圍.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，f（x）＝x＋＋2，

設(shè)1≤x1＜x2，則f（x2）－f（x1）＝（x2－x1），Z+X+X+K]

∵1≤x1＜x2，∴x2－x1＞0，2x1x2＞2，

∴，∴f（x2）－f（x1）＞0，f（x1）＜f（x2）.

∴f（x）在區(qū)間[1，＋∞）上為增函數(shù)，∴f（x）在區(qū)間[1，＋∞）上的最小值為f（1）＝.

（2）在區(qū)間[1，＋∞）上f（x）＞0恒成立x2＋2x＋a＞0恒成立.

設(shè)y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞），

則函數(shù)y＝x2＋2x＋a＝（x＋1）2＋a－1在區(qū)間[1，＋∞）上是增函數(shù).

所以當(dāng)x＝1時(shí)，y取最小值，即ymin＝3＋a，

于是當(dāng)且僅當(dāng)ymin＝3＋a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）＞0恒成立，故a＞－3.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（－3，＋∞）.