【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1

(1)求證:AB1⊥平面A1BC1;
(2)若D為B1C1的中點,求AD與平面A1BC1所成的角.

【答案】
(1)證明:由題意知四邊形AA1B1B是正方形,

∴AB1⊥BA1

∵AA1⊥平面A1B1C1,∴AA1⊥A1C1

又∵A1C1⊥A1B1,∴A1C1⊥平面AA1B1B,

∴A1C1⊥AB1

∴AB1⊥平面A1BC1


(2)解:設(shè)AB1與A1B相交于點O,則點O是線段AB1的中點.

連接AC1,由題意知△AB1C1是正三角形.

由AD,C1O是△AB1C1的中線知:AD與C1O的交點為重心G,連接OG.

由(1) 知AB1⊥平面A1BC1

∴OG是AD在平面A1BC1上的射影,

∴∠AGO是AD與平面A1BC1所成的角.

在直角△AOG中,

AG= AD= AB1= AB,AO= AB,

∴sin∠AGO= =

∴∠AGO=60°,

即AD與平面A1BC1所成的角為60°.


【解析】(1)由題意先推導出A1C1⊥平面AA1B1B,從而得到A1C1⊥AB1 , 由此能夠證明AB1⊥平面A1BC1 . (2) 設(shè)AB1與A1B相交于點O,由題設(shè)條件推導出AD與C1O的交點為重心G,連接OG,能推導出∠AGO是AD與平面A1BC1所成的角,由此能求出AD與平面A1BC1所成的角的大。
【考點精析】關(guān)于本題考查的直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角,需要了解一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則才能得出正確答案.

練習冊系列答案
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B.g(x)=sin(8x﹣ )??
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D.g(x)=sin4x

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