Question

【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)， 是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線在點處的切線方程是.

（1）求的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）設（其中為的導函數(shù)）．證明：對任意，

Answer 1

【答案】（1）;（2）單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是;（3）見解析.

【解析】

【試題分析】（1）依據(jù)題設導數(shù)的幾何意義建立方程分析求解；（2）依據(jù)導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關系分析求解；（3）先將不等式進行等價轉(zhuǎn)化，再借助導數(shù)分析推證：

（1）由得.由已知得，解得.又，即，.

（2）由（1）得，令，

當時，；當時，，又當時，；

當時，，的單調(diào)遞增區(qū)間是，的單調(diào)遞減區(qū)間是

（3）由已知有，于是對任意等價于，由（2）知，，易得，當時，，即單調(diào)遞增；當時，，即單調(diào)遞減.的最大值為，故.設則，因此，當，單調(diào)遞增，，故當時，，即..對任意