Question

【題目】如圖，圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)是圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)（不與重合），點(diǎn)是圓弧的中點(diǎn)，且點(diǎn)在平面的兩側(cè).

（1）證明：平面平面；

（2）設(shè)點(diǎn)在平面上的射影為點(diǎn)，點(diǎn)分別是和的重心，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，回答下列問(wèn)題.

（ⅰ）證明：平面；

（ⅱ）求平面與平面所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）（ⅰ）見(jiàn)解析（ⅱ）

【解析】

（1）證明垂直平面內(nèi)的兩條相交直線，再利用面面垂直的判定定理證明即可；

（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，點(diǎn)為圓弧的中點(diǎn)，所以點(diǎn)為圓弧的中點(diǎn)，所以四邊形為正方形，且平面.（ⅰ）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，則，再由線面平行的判定定理證得結(jié)論；（ⅱ）由平面垂直，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，平面的法向量，求兩向量夾角的余弦值，進(jìn)而得到二面角的正弦值.

（1）因?yàn)?/span>是軸截面，所以平面，所以，

又點(diǎn)是圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)（不與重合），且為直徑，所以，

又平面平面，所以平面，而平面，故平面平面.

（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，點(diǎn)為圓弧的中點(diǎn)，所以點(diǎn)為圓弧的中點(diǎn)，所以四邊形為正方形，且平面.

（ⅰ）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，則，

因?yàn)?/span>分別為兩個(gè)三角形的重心，∴，

所以，又平面平面，所以平面.

（ⅱ）平面垂直，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則，設(shè)平面的法向量，則即可取，

又平面的法向量，

所以，所以.

所以平面與平面所成二面角的正弦值為.