Question

【題目】已知函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；

（2）令，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，

求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）令，記數(shù)列的前n項(xiàng)積為，求證：

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析 （2） （3）見(jiàn)解析；

【解析】

試題分析：（1）由題已知，可得函數(shù)解析式，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值（注意定義域）�？上惹蠛瘮�(shù)的導(dǎo)數(shù)，令，為增區(qū)間，反之為減區(qū)間，再判斷出極值。

（2）由題為在給定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題，即成立等價(jià)于，變量分離得；，然后構(gòu)造函數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求在的最小值，可求得的取值范圍。

（3）為數(shù)列不等式的證明，由，聯(lián)系所證明的結(jié)論，可兩邊取自然對(duì)數(shù)，再運(yùn)用對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性放縮，可得等差與等比商型數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法可證得結(jié)論。

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)＜0

∴當(dāng)時(shí)，無(wú)極小值，

且函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；

（2）當(dāng)時(shí)， 不等式恒成立等價(jià)于≥0

即：恒成立。令

當(dāng)時(shí)， 則：

則實(shí)數(shù)a的取值范圍

（3）由（1）得：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減，則：，

即：，

則：

記： ①

②

①－②得：

則：