【題目】已知函數(shù),.

1)若函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;

2)對(duì)于函數(shù),,,若對(duì)于區(qū)間上的任意一個(gè),都有,則稱函數(shù)是函數(shù),在區(qū)間上的一個(gè)分界函數(shù)”.已知,,問是否存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)是函數(shù),在區(qū)間上的一個(gè)分界函數(shù)?若存在,求實(shí)數(shù)的取值范圍;若不存在,說明理由.

【答案】1;(2.

【解析】試題分析:()先求函數(shù)導(dǎo)數(shù):,再根據(jù)函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn),得在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn),最后結(jié)合二次函數(shù)實(shí)根分布得,解得實(shí)數(shù)的取值范圍是;()由題意得當(dāng)時(shí),恒成立,

恒成立,即問題為恒成立問題,解決方法為轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問題:記,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)變化規(guī)律,確定其最大值:當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,最大值為,由,解得;當(dāng)時(shí),最大值為正無窮大,即在區(qū)間上不恒成立,同理記,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)變化規(guī)律,確定其最小值:由于,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,其最小值為,得.

試題解析:(1,

,

依題意,在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn),

,得實(shí)數(shù)的取值范圍是;………………………………5

)若函數(shù)是函數(shù),在區(qū)間上的一個(gè)分界函數(shù),

則當(dāng)時(shí),恒成立,

恒成立,…………………………………………6

,

,即

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,且,

,解得;…………………………………………8

,即

的圖象是開口向上的拋物線,

存在,使得

從而,在區(qū)間上不會(huì)恒成立,…………………10

,

在區(qū)間上單調(diào)遞增,

恒成立,得,得.

綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)是函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)分界函數(shù)”. 13

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該同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)總的趨勢(shì)是在逐步提高;

該同學(xué)在這連續(xù)九次測(cè)試中的最高分與最低分的差超過40分;

該同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與考試次號(hào)具有比較明顯的線性相關(guān)性,且為正相關(guān)

A.0 B.1

C.2 D.3

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(2)若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),求的取值范圍.

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1當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值;

2,當(dāng)時(shí),不等式恒成立,

求實(shí)數(shù)的取值范圍;

3,記數(shù)列的前n項(xiàng)積為,求證:

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