【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,AD=4,將△CBD沿BD折起到△EBD的位置,使平面EBD⊥平面ABD.
(1)求證:AB⊥DE;
(2)若點F為BE的中點,求直線AF與平面ADE所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】
(1)由已知結(jié)合余弦定理,求得,再由勾股定理的逆定理有ED⊥DB,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得ED⊥平面ABD,即可證明結(jié)論;
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求出,進(jìn)而求出坐標(biāo)和平面ADE法向量的坐標(biāo),按照空間線面角公式,即可求解.
(1)在△ABD中,由余弦定理:
BD2=AB2+AD2﹣2ABADcos∠DAB,∴,
∴△ABD和△EBD為直角三角形,此即ED⊥DB,
而DB又是平面EBD和平面ABD的交線,
且平面EBD⊥平面ABD,ED平面EBD,
∴ED⊥平面ABD,AB平面ABD,∴AB⊥DE;
(2)由(1)知∠ABD=∠CDB=90°,以D為坐標(biāo)原點,
DB,DC,DE所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則,
則,設(shè)平面ADE的法向量為,
則有,令x=1,則,
,設(shè)直線AF與平面ADE所成角為α,則有,
所以直線直線AF與平面ADE所成角的正弦為.
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【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的方程為.
(1)以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求曲線的極坐標(biāo)方程和直線的極坐標(biāo)方程;
(2)在(1)的條件下,直線的極坐標(biāo)方程為,設(shè)曲線與直線的交于點和點,曲線與直線的交于點和點,求的面積.
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【題目】已知函數(shù),,
(I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若在恒成立,求的取值范圍;
(III)當(dāng),時,證明:
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【題目】十二生肖的座位次序如下圖1,中間的狗、豬位置固定不動,其他生肖動物每次順時針轉(zhuǎn)動一格,即第一次轉(zhuǎn)動后的座位次序如下圖2,這樣繼續(xù)進(jìn)行下去,那么第2019次換座位后,鼠的座位對應(yīng)的編號為________.
圖一:
鼠1 | 牛2 | 虎3 | 兔4 |
雞10 | 狗11 | 豬12 | 龍5 |
猴9 | 羊8 | 馬7 | 蛇6 |
圖二:
雞1 | 鼠2 | 牛3 | 虎4 |
猴10 | 狗11 | 豬12 | 兔5 |
羊9 | 馬8 | 蛇7 | 龍6 |
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【題目】已知點為坐標(biāo)原點,橢圓 的左、右焦點分別為,,通徑長(即過焦點且垂直于長軸的直線與橢圓相交所得的弦長)為3,短半軸長為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)過點的直線與橢圓相交于,兩點,線段上存在一點到,兩邊的距離相等,若,間直線的斜率是否存在?若存在,求直線的斜率的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖所示,在長方體ABCD﹣A1B1C1D1,若AB=BC,E,F分別是AB1,BC1的中點,則下列結(jié)論中不成立的是( )
A.EF與BB1垂直B.EF⊥平面BDD1B1
C.EF與C1D所成的角為45°D.EF∥平面A1B1C1D1
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【題目】如圖,在棱長為2的正方體中,點P在正方體的對角線AB上,點Q在正方體的棱CD上,若P為動點,Q為動點,則PQ的最小值為_____.
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【題目】已知橢圓:的左、右焦點分別為,,過且垂直于軸的焦點弦的弦長為,過的直線交橢圓于,兩點,且的周長為.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線,互相垂直,直線過且與橢圓交于點,兩點,直線過且與橢圓交于,兩點.求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有一款智能學(xué)習(xí)APP,學(xué)習(xí)內(nèi)容包含文章學(xué)習(xí)和視頻學(xué)習(xí)兩類,且這兩類學(xué)習(xí)互不影響.已知該APP積分規(guī)則如下:每閱讀一篇文章積1分,每日上限積5分;觀看視頻累計3分鐘積2分,每日上限積6分.經(jīng)過抽樣統(tǒng)計發(fā)現(xiàn),文章學(xué)習(xí)積分的概率分布表如表1所示,視頻學(xué)習(xí)積分的概率分布表如表2所示.
(1)現(xiàn)隨機抽取1人了解學(xué)習(xí)情況,求其每日學(xué)習(xí)積分不低于9分的概率;
(2)現(xiàn)隨機抽取3人了解學(xué)習(xí)情況,設(shè)積分不低于9分的人數(shù)為,求的概率分布及數(shù)學(xué)期望.
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