Question

【題目】已知點為坐標原點，橢圓 的左、右焦點分別為，，通徑長（即過焦點且垂直于長軸的直線與橢圓相交所得的弦長）為3，短半軸長為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設過點的直線與橢圓相交于，兩點，線段上存在一點到，兩邊的距離相等，若，間直線的斜率是否存在？若存在，求直線的斜率的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】

（1）由短半軸長為可得 ，由通徑長為3，可得，求出得，從而可得結果；（2）先證明，討論斜率不存在時不合題意，斜率存在時，可設直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立可得，利用平面向量數(shù)量積的坐標表示以及韋達定理可得到，從而可得結果.

（1）因為短半軸長為，所以.

設橢圓 的半焦距為.

由題意，得，解得.

由通徑長為3，得，即，解得.

所以橢圓的標準方程為.

（2）由（1）得，橢圓的標準方程為.

因為點到，兩邊的距離相等，

所以由角平分線定理，得是的角平分線.

由，得，即，則.

所以，所以.

易知左，右焦點，的坐標分別為，，

當直線的斜率存在時，設為，則直線的方程為.設點，.

聯(lián)立，得，

則恒成立.

所以，.

又 ，

所以.

所以，化簡得，

所以，解得 ；

當直線的斜率不存在時，點，，，，

則，不符合題意，所以舍去.

綜上，直線的斜率存在，且直線的斜率的取值范圍是.