Question

已知函數(shù)f（x）滿足對(duì)于任意實(shí)數(shù)x∈R，均有f（x）+2f（-x）=e^x+2（

1

e

）^x+x成立．
（1）求f（x）的解析式并求f（x）的最小值；
（2）證明：(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n

n

)n＜

e

e-1

．（n∈N⁺）

Answer 1

考點(diǎn)：反證法與放縮法,抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）利用已知條件以-x換x，得到方程組，求出函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最大值．
（2）利用（1）的結(jié)論，推出e^x≥x+1，得到1-

k

n

≤e-

k

n

，利用放縮法以及等比數(shù)列求和推出結(jié)果．

解答： 解：（1）依題意得

f(x)+2f(-x)=ex+2( 1 e )x+x f(-x)+2f(x)=( 1 e )x+2ex-x

解之得f（x）=e^x-x，f′（x）=e^x-1，
當(dāng)x＞0時(shí)f′（x）＞0當(dāng)x＜0時(shí)f′（x）＜0
∴f（x）在（-∞，0）上遞減在（0，+∞）上遞增
∴f（x）_min=f（0）=1
（2）由（1）得 e^x-x≥1恒成立，則e^x≥x+1
在e^x≥x+1中令x=-

k

n

(k=1，2，…，n-1)
∴1-

k

n

≤e-

k

n

，∴(1-

k

n

)n≤e-k，
∴(1-

1

n

)n≤e-1，(1-

2

n

)n≤e-2，…，(1-

n-1

n

)n≤e-(n-1)，(

n

n

)n=1，
∴(

n

n

)n+(

n-1

n

)n+(

n-2

n

)n+…+(

1

n

)n≤1+e-1+e-2+…+e-(n-1)=

1-( 1 e )n

1- 1 e

=

e[1-( 1 e )n]

e-1

＜

e

e-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及最大值的求法，放縮法證明不等式以及數(shù)列求和指數(shù)的綜合應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．