【題目】已知函數(shù)的圖像在處的切線與直線平行.
(1)求函數(shù)的極值;
(2)若,求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)求得的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率,由兩直線平行的條件,斜率相等,可求得的值,求出的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間,即可得到所求極值;(2)設(shè),可得,等價于在上為增函數(shù),求得的導(dǎo)數(shù),再由參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù),求出最值,即可得到所求的范圍.
(1)f(x)=ax+1xlnx的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=a1lnx,
可得f(x)的圖象在A(1,f(1))處的切線斜率為a1,
由切線與直線xy=0平行,可得a1=1,
即a=2,f(x)=2x+1xlnx,
f′(x)=1lnx,
由f′(x)>0,可得0<x<e,由f′(x)<0,可得x>e,
則f(x)在(0,e)遞增,在(e,+∞)遞減,
可得f(x)在x=e處取得極大值,且為e+1,無極小值;
(2)可設(shè),若∈(0,+∞),
由,可得,
即有恒成立,設(shè)在(0,+∞)為增函數(shù),
即有g(shù)′(x)=1lnx2mx0對x>0恒成立,
可得在x>0恒成立,
由的導(dǎo)數(shù)為得:
當h′(x)=0,可得,
h(x)在(0, )遞減,在(,+∞)遞增,
即有h(x)在x=處取得極小值,且為最小值
可得,
解得
則實數(shù)m的取值范圍是
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在R上的函數(shù)f(x),滿足 ,且f(3)=f(1)﹣1.
(1)求實數(shù)k的值;
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)+f(﹣x)(﹣2≤x≤2),求g(x)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 過點,離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2), 是過點且互相垂直的兩條直線,其中交圓于, 兩點, 交橢圓于另一個點,求面積取得最大值時直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】懷化某中學(xué)對高三學(xué)生進行體質(zhì)測試,已知高三某個班有學(xué)生30人,測試立定跳遠的成績用莖葉圖表示如圖(單位:cm)
男生成績在195cm以上(包含195cm)定義為“合格”,成績在195cm以下(不包含195cm)定義為“不合格”,女生成績在185cm以上(包含185cm)定義為“合格”,成績在185cm以下(不包含185cm)定義為“不合格”.
(1)求女生立定跳遠成績的中位數(shù);
(2)若在男生中按成績合格與否進行分層抽樣,抽取6人,求抽取成績?yōu)椤昂细瘛钡膶W(xué)生人數(shù);
(3)若從(2)中抽取的6名學(xué)生中任意選取4個人參加復(fù)試,求這4人中至少3人合格的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知 , , .
(Ⅰ)求b和c;
(Ⅱ)求sin(A﹣B)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知a,b,c均為正數(shù).
(Ⅰ)求證:a2+b2+( )2≥4 ;
(Ⅱ)若a+4b+9c=1,求證: ≥100.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某運動員每次投籃命中的概率等于 .現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率:先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù),指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0,表示不命中;再以每三個隨機數(shù)為一組,代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù):
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
據(jù)此估計,該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為__________.
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【題目】已知等比數(shù)列{}的前n項和為,且滿足2=+m(m∈R).
(Ⅰ)求數(shù)列{}的通項公式;
(Ⅱ)若數(shù)列{}滿足,求數(shù)列{}的前n項和.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)法一:由前n項和與數(shù)列通項公式的關(guān)系可得數(shù)列的通項公式為;
法二:由題意可得,則,據(jù)此可得數(shù)列的通項公式為.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,裂項求和可得.
(Ⅰ)法一:
由得,
當時,,即,
又,當時符合上式,所以通項公式為.
法二:
由得
從而有,
所以等比數(shù)列公比,首項,因此通項公式為.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,
,
.
【點睛】
本題主要考查數(shù)列前n項和與通項公式的關(guān)系,裂項求和的方法等知識,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.
【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】四棱錐S-ABCD的底面ABCD為直角梯形,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2BC=2CD=2,△SAD為正三角形.
(Ⅰ)點M為棱AB上一點,若BC∥平面SDM,AM=λAB,求實數(shù)λ的值;
(Ⅱ)若BC⊥SD,求二面角A-SB-C的余弦值.
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