【題目】如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,,,,且的中點(diǎn),延長(zhǎng)于點(diǎn),且在底內(nèi)的射影恰為的中點(diǎn)的中點(diǎn),上任意一點(diǎn).

1)證明:平面平面;

2)求平面與平面所成銳角二面角的余弦值.

【答案】1)證明見(jiàn)解析;(2)

【解析】

1)根據(jù)平面ABCD,得到,由平面幾何知識(shí)得到,從而得到平面,所以所以平面平面;(2)以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,得到平面和平面的法向量,利用向量的夾角公式,得到這兩個(gè)面所成的銳角二面角的余弦值.

1)由題意,ECD的中點(diǎn),

因?yàn)?/span>平面ABCD,平面ABCD,

所以,又因?yàn)?/span>,

,

所以垂直平分

所以

又因,

所以為正方形,

所以

因?yàn)?/span>的中點(diǎn),

所以

,所以

,所以平面,

平面

所以平面平面.

(2)因?yàn)?/span>在底面ABCD內(nèi)的射影恰為OA的中點(diǎn)H,

所以.

因?yàn)?/span>,所以過(guò)點(diǎn)O分別作AD,AB的平行線(如圖),

并以它們分別為x,y軸,

以過(guò)O點(diǎn)且垂直于平面的直線為z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

所以,,,,

所以,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,

,所以

,則,

由(1)知,平面,所以平面,

所以為平面的一個(gè)法向量,

.

故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.

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