Question

【題目】如圖，某園林單位準(zhǔn)備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，△ABC外的地方種草，△ABC的內(nèi)接正方形PQRS為一水池，其余的地方種花．若BC＝a，∠ABC＝，設(shè)△ABC的面積為S1,正方形的面積為S2．

(1)用a，表示S1和S2；

(2)當(dāng)a固定，變化時(shí)，求取最小值時(shí)的角．

Answer 1

【答案】（1）S1a2sinθcosθ；S2＝；（2）當(dāng)θ時(shí)，的值最小，最小值為．

【解析】

（1）據(jù)題三角形ABC為直角三角形，利用三角函數(shù)分別求出AC和AB，得出三角形ABC的面積S1；

設(shè)正方形PQRS的邊長(zhǎng)為x，利用三角函數(shù)分別表示出BQ和RC，由BQ+QR+RC＝a列出方程求出x，算出S2；

（2）化簡(jiǎn)比值，設(shè)t＝sin2θ來(lái)化簡(jiǎn)求出S1與S2的比值，利用三角函數(shù)的增減性求出比值的最小值以及對(duì)應(yīng)此時(shí)的θ．

（1）在Rt△ABC中，AB＝acosθ，AC＝asinθ，

所以S1ABACa2sinθcosθ；

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x則BP，AP＝xcosθ，

由BP+AP＝AB，得xcosθ＝acosθ，

解得x；

所以S2＝x2；

（2）

sin2θ+1，

令t＝sin2θ，因?yàn)?/span> 0＜θ，

所以0＜2θ＜π，則t＝sin2θ∈（0，1]，

所以t+1；

設(shè)g（t）t+1，

則g′（t），t∈（0，1]；

所以函數(shù)g（t）在（0，1]上遞減，

因此當(dāng)t＝1時(shí)g（t）有最小值g（t）min＝g（1）1+1，

此時(shí)sin2θ＝1，解得θ；所以當(dāng)θ時(shí)，的值最小，最小值為．