Question

【題目】已知.

（1）求證：恒成立；

（2）試求的單調(diào)區(qū)間；

（3）若，，且，其中，求證：恒成立.

Answer 1

【答案】(1) 證明見解析；(2) 單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間。 (3)證明見解析

【解析】

（1）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，利用來證明所證不等式成立；

（2）先解等式可得出函數(shù)的定義域，求出該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用（1）中的結(jié)論得出在定義域內(nèi)恒成立，由此可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）證法一：利用分析法得出要證，即證，利用數(shù)學(xué)歸納法和單調(diào)性證明出對(duì)任意的恒成立，再利用（1）中的不等式即可得證；

證法二：利用數(shù)學(xué)歸納法證明，先驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，再假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即，利用函數(shù)的單調(diào)性得出，由歸納原理證明所證不等式成立.

（1）令，則，由得，由得.

函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，即恒成立；

（2）由得或，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

因?yàn)?/span>，

由（1）可知當(dāng)時(shí)，恒成立，且，.

函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，，無單調(diào)遞減區(qū)間；

（3）證法一：，要證，即證，

即證，即證.

先證對(duì)任意，，即，即.

構(gòu)造函數(shù)，其中，則，

則函數(shù)在上單調(diào)遞增，，

所以，對(duì)任意的，，即，.

下面證明對(duì)任意的，.

，.

假設(shè)當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，.

由上可知，對(duì)任意的，.

由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，，，

因此，對(duì)任意的，；

證法二：數(shù)學(xué)歸納法

①當(dāng)時(shí)，，，

，，即成立；

②假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即成立.

由（2）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，

又，，，當(dāng)時(shí)結(jié)論成立

綜合①②，恒成立.