Question

【題目】選修4－4：坐標系與參數方程(本題滿分10分)

在平面直角坐標系中，將曲線向左平移2個單位，再將得到的曲線上的每一個點的橫坐標保持不變，縱坐標縮短為原來的，得到曲線，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，的極坐標方程為．

（1）求曲線的參數方程；

（2）已知點在第一象限，四邊形是曲線的內接矩形，求內接矩形周長的最大值，并求周長最大時點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（2），

【解析】

（1）先將曲線化為普通方程，再根據坐標變換規(guī)律，即可求得曲線的普通方程和參數方程；

（2）根據題意，設點，則，利用輔助角公式化簡周長的解析式，即可求出最大值及其對應的點的坐標.

解：（1）由得

將代入，整理得曲線的普通方程為，

設曲線上的點為，變換后的點為

由題可知坐標變換為，即代入曲線的普通方程，整理得

曲線的普通方程為 ，

曲線的參數方程為(為參數).

（2）設四邊形的周長為，設點，

，

且，，

，

．

且當時，取最大值，此時，

所以，，，此時.