【題目】動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)
的距離和它到直線
的距離相等,記點(diǎn)
的軌跡為曲線
(1)求曲線的方程
(2)設(shè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)
在曲線
上運(yùn)動(dòng)時(shí),
的最短距離為
,求
的值以及取到最小值時(shí)點(diǎn)
的坐標(biāo)
(3)設(shè)為曲線
的任意兩點(diǎn),滿足
(
為原點(diǎn)),試問直線
是否恒過一個(gè)定點(diǎn)?如果是,求出定點(diǎn)坐標(biāo);如果不是,說明理由
【答案】(1);(2)
;
;(3)恒過定點(diǎn)
,理由見解析
【解析】
(1)由拋物線定義可知軌跡為拋物線,結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)求得曲線方程;
(2)設(shè),由兩點(diǎn)間距離公式可得到
,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)
時(shí),
取得最小值,從而構(gòu)造方程求得
;利用
求得
,從而得到
點(diǎn)坐標(biāo);
(3)將直線方程與拋物線方程聯(lián)立可得
坐標(biāo);由兩點(diǎn)連線斜率公式求得直線
斜率,進(jìn)而得到直線
的方程,整理可得恒過的定點(diǎn)坐標(biāo).
(1)由拋物線定義可知,動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以
為焦點(diǎn),
為準(zhǔn)線的拋物線
曲線
的方程為:
(2)設(shè)
當(dāng)
時(shí),
,解得:
此時(shí)
(3)由題意知,直線斜率均存在且均不為零,可記為
,與拋物線方程聯(lián)立得:
同理可得:
直線
斜率為
直線
方程為:
整理可得:
當(dāng)
,
時(shí)等式恒成立
直線
恒過點(diǎn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(題文)(題文)已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為
,
,右焦點(diǎn)
的坐標(biāo)為
,點(diǎn)
坐標(biāo)為
,且直線
軸,過點(diǎn)
作直線與橢圓
交于
,
兩點(diǎn)(
,
在第一象限且點(diǎn)
在點(diǎn)
的上方),直線
與
交于點(diǎn)
,連接
.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線的斜率為
,直線
的斜率為
,問:
的斜率乘積是否為定值,若是求出該定值,若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在中,已知
,M是BC的中點(diǎn).
(1)若,求向量
與向量
的夾角的余弦值;
(2)若O是線段AM上任意一點(diǎn),且,求
的最小值;
(3)若點(diǎn)P是邊BC上的一點(diǎn),且,求
的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(本題滿分10分)
在平面直角坐標(biāo)系中,將曲線向左平移2個(gè)單位,再將得到的曲線上的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的
,得到曲線
,以坐標(biāo)原點(diǎn)
為極點(diǎn),
軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求曲線的參數(shù)方程;
(2)已知點(diǎn)在第一象限,四邊形
是曲線
的內(nèi)接矩形,求內(nèi)接矩形
周長(zhǎng)的最大值,并求周長(zhǎng)最大時(shí)點(diǎn)
的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中,直線
(
為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),
軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求直線的普通方程及曲線
的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)直角坐標(biāo)為
,直線
與曲線
交于
,
兩點(diǎn),求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左.右焦點(diǎn)分別為
,短軸兩個(gè)端點(diǎn)為
,且四邊形
的邊長(zhǎng)為
的正方形.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若,分別是橢圓長(zhǎng)軸的左,右端點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)
滿足
,連結(jié)
,交橢圓于點(diǎn)
.證明:
的定值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,試問軸上是否存在異于點(diǎn)
,的定點(diǎn)
,使得以
為直徑的圓恒過直線
,
的交點(diǎn),若存在,求出點(diǎn)
的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(kx+)ex﹣2x,若f(x)<0的解集中有且只有一個(gè)正整數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍為 ( )
A. [ ,
)B. (
,
]
C. [)D. [
)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方體的棱長(zhǎng)為1,線段
上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)
,且
,現(xiàn)有如下四個(gè)結(jié)論:
;
平面
;
三棱錐
的體積為定值;
異面直線
所成的角為定值,
其中正確結(jié)論的序號(hào)是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中有如下正確結(jié)論:
為曲線
(
、
為非零實(shí)數(shù),且不同時(shí)為負(fù))上一點(diǎn),則過點(diǎn)
的切線方程為
.
(1)已知為橢圓
上一點(diǎn),
為過點(diǎn)
的橢圓的切線,若直線
與直線
的斜率分別為
與
,求證:
為定值;
(2)過橢圓上一點(diǎn)
引橢圓
的切線,與
軸交于點(diǎn)
.若
為正三角形,求橢圓
的方程;
(3)求與圓及(2)中的橢圓
均相切的直線
與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的取值范圍.
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