【題目】動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離和它到直線的距離相等，記點(diǎn)的軌跡為曲線

（1）求曲線的方程

（2）設(shè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最短距離為，求的值以及取到最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)

（3）設(shè)為曲線的任意兩點(diǎn)，滿足（為原點(diǎn)），試問直線是否恒過一個(gè)定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不是，說明理由

【答案】（1）；（2）；；（3）恒過定點(diǎn)，理由見解析

【解析】

（1）由拋物線定義可知軌跡為拋物線，結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)求得曲線方程；

（2）設(shè)，由兩點(diǎn)間距離公式可得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，取得最小值，從而構(gòu)造方程求得；利用求得，從而得到點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）將直線方程與拋物線方程聯(lián)立可得坐標(biāo)；由兩點(diǎn)連線斜率公式求得直線斜率，進(jìn)而得到直線的方程，整理可得恒過的定點(diǎn)坐標(biāo).

（1）由拋物線定義可知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線

曲線的方程為：

（2）設(shè)

當(dāng)時(shí)，，解得：

此時(shí)

（3）由題意知，直線斜率均存在且均不為零，可記為

，與拋物線方程聯(lián)立得：

同理可得： 直線斜率為

直線方程為：

整理可得： 當(dāng)，時(shí)等式恒成立

直線恒過點(diǎn)

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（題文）（題文）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，，右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，且直線軸，過點(diǎn)作直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（，在第一象限且點(diǎn)在點(diǎn)的上方），直線與交于點(diǎn)，連接.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，問：的斜率乘積是否為定值，若是求出該定值，若不是，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在中,已知，M是BC的中點(diǎn).

(1)若,求向量與向量的夾角的余弦值；

(2)若O是線段AM上任意一點(diǎn),且，求的最小值；

(3)若點(diǎn)P是邊BC上的一點(diǎn),且，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程(本題滿分10分)

在平面直角坐標(biāo)系中，將曲線向左平移2個(gè)單位，再將得到的曲線上的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，得到曲線，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，的極坐標(biāo)方程為．

（1）求曲線的參數(shù)方程；

（2）已知點(diǎn)在第一象限，四邊形是曲線的內(nèi)接矩形，求內(nèi)接矩形周長(zhǎng)的最大值，并求周長(zhǎng)最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中，直線（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)直角坐標(biāo)為，直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的左．右焦點(diǎn)分別為,短軸兩個(gè)端點(diǎn)為,且四邊形的邊長(zhǎng)為 的正方形．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若,分別是橢圓長(zhǎng)軸的左,右端點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,連結(jié),交橢圓于點(diǎn)．證明: 的定值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下,試問軸上是否存在異于點(diǎn),的定點(diǎn),使得以為直徑的圓恒過直線,的交點(diǎn),若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在,說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）＝（kx+）ex﹣2x，若f（x）＜0的解集中有且只有一個(gè)正整數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為 （　　）

A. [ ，）B. （，]

C. [）D. [）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，現(xiàn)有如下四個(gè)結(jié)論：

；平面；

三棱錐的體積為定值；異面直線所成的角為定值，

其中正確結(jié)論的序號(hào)是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中有如下正確結(jié)論：為曲線（、為非零實(shí)數(shù)，且不同時(shí)為負(fù)）上一點(diǎn),則過點(diǎn)的切線方程為．

(1)已知為橢圓上一點(diǎn),為過點(diǎn)的橢圓的切線，若直線與直線的斜率分別為與,求證：為定值；

(2)過橢圓上一點(diǎn)引橢圓的切線,與軸交于點(diǎn)．若為正三角形,求橢圓的方程；

(3)求與圓及(2)中的橢圓均相切的直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的取值范圍．

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