Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）若不等式在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）求證：.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，的極大值為，無極小值；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

（1）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律，進(jìn)而確定單調(diào)區(qū)間和極值；（2）先分離變量，轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值，再利用導(dǎo)數(shù)求對應(yīng)函數(shù)最值，即得結(jié)果，（3）利用（2）得，即得，再利用放縮以及裂項(xiàng)相消法求和，即得結(jié)果.

解：（1）∵，其定義域?yàn)?/span>，

∴，

令，得，

令，得.

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，

的極大值為，無極小值.

（2）∵，，

∴，令，

則，

令，解得.

當(dāng)在內(nèi)變化時(shí)，，的變化情況如下表：

	+	0	-

由表知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，且最大值為，∴，

∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.

（3）由（2）知，，

∴，

∴.

∵

，

∴，

即.