【題目】如圖，四棱錐中，底面為菱形，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).

（1）證明：；

（2）若點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，平面平面，求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】分析：（1）由正三角形的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，由線(xiàn)面垂直的判定定理可得平面，從而可得結(jié)論；（2）由（1）知，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得，平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線(xiàn)為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量取平面的一個(gè)法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

詳解：（1）連接，

因?yàn)?/span>，，所以為正三角形，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以.

又因?yàn)?/span>，為的中點(diǎn)，所以.

又，所以平面，又平面，所以.

（2）由（1）知.又平面平面，交線(xiàn)為，所以平面，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線(xiàn)為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

可得得，

由（1）知平面，則取平面的一個(gè)法向量，

，故二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且，，F是BE的中點(diǎn)，

求證：（1）平面ABC；

（2）平面EDB.

（3）求幾何體的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某農(nóng)科所對(duì)冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：

日期

12月1日

12月2日

12月3日

12月4日

12月5日

溫差/攝氏度

10

11

13

12

8

發(fā)芽數(shù)/顆

23

25

30

26

16

該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這5組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)求線(xiàn)性回歸方程，再用被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).

（1）求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰2天的數(shù)據(jù)的概率；

（2）若選取的是12月1日與12月5日的2組數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)12月2日至4日的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程，由線(xiàn)性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選取的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2顆，則認(rèn)為得到的線(xiàn)性回歸方程是可靠的，試問(wèn)（2）中所得的線(xiàn)性回歸方程是否可靠？

附：參考公式：，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】近年空氣質(zhì)量逐步惡化，霧霾天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多，大氣污染危害加重. 大氣污染可引起心悸、呼吸困難等心肺疾病。為了解某市心肺疾病是否與性別有關(guān)，在某醫(yī)院隨機(jī)的對(duì)入院50人進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查得到了如在的列聯(lián)表:已知在全部50人中隨機(jī)抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率為.

（Ⅰ）請(qǐng)將右面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；

患心肺疾病

不患心肺疾病

合計(jì)

男

5

女

10

合計(jì)

50

（Ⅱ）是否有99.5%的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān)?說(shuō)明你的理由；

（Ⅲ）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病.現(xiàn)在從患心肺疾病的10位女性中，選出3名進(jìn)行其他方面的排查，記選出患胃病的女性人數(shù)為，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望.

下面的臨界值表供參考:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（參考公式 其中）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與拋物線(xiàn)相交于，兩點(diǎn)

（Ⅰ）若線(xiàn)段的中點(diǎn)在直線(xiàn)上，求直線(xiàn)的方程；

（Ⅱ）若線(xiàn)段，求直線(xiàn)的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼救信號(hào)，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測(cè)出該漁輪在方位角為45°，距離為10mile的C處，并測(cè)得漁輪正沿方位角為105°的方向，以mile/h的速度向某小島靠攏，我海軍艦艇立即向方位角為方向，以mile/h的速度前去營(yíng)救，求艦艇與漁輪相遇時(shí)所需的最短時(shí)間和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】從2名男生和2名女生中任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動(dòng),每天一人,則星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率為(　　)

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，且，.四邊形ABCD滿(mǎn)足，，.E為側(cè)棱PB的中點(diǎn)，F為側(cè)棱PC上的任意一點(diǎn).

(1)若F為PC的中點(diǎn)，求證:平面PAD；

(2)求證:平面平面PAB；

(3)是否存在點(diǎn)F，使得直線(xiàn)AF與平面PCD垂直?若存在，寫(xiě)出證明過(guò)程并求出線(xiàn)段PF的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn).

（1）若直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線(xiàn)的方程；

（2）若，兩點(diǎn)到直線(xiàn)的距離相等，求直線(xiàn)的方程.

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