【題目】如圖，四棱錐中，底面為菱形，，，點為的中點.

（1）證明：；

（2）若點為線段的中點，平面平面，求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】分析：（1）由正三角形的性質可得，由等腰三角形的性質可得，由線面垂直的判定定理可得平面，從而可得結論；（2）由（1）知，結合面面垂直的性質可得，平面，以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量取平面的一個法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結果.

詳解：（1）連接，

因為，，所以為正三角形，又點為的中點，所以.

又因為，為的中點，所以.

又，所以平面，又平面，所以.

（2）由（1）知.又平面平面，交線為，所以平面，

以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，，

設平面的一個法向量為，

可得得，

由（1）知平面，則取平面的一個法向量，

，故二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且，，F是BE的中點，

求證：（1）平面ABC；

（2）平面EDB.

（3）求幾何體的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某農科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關系進行分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：

日期

12月1日

12月2日

12月3日

12月4日

12月5日

溫差/攝氏度

10

11

13

12

8

發(fā)芽數(shù)/顆

23

25

30

26

16

該農科所確定的研究方案是：先從這5組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用被選取的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.

（1）求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰2天的數(shù)據(jù)的概率；

（2）若選取的是12月1日與12月5日的2組數(shù)據(jù)，請根據(jù)12月2日至4日的數(shù)據(jù)，求出關于的線性回歸方程，由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選取的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（2）中所得的線性回歸方程是否可靠？

附：參考公式：，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】近年空氣質量逐步惡化，霧霾天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多，大氣污染危害加重. 大氣污染可引起心悸、呼吸困難等心肺疾病。為了解某市心肺疾病是否與性別有關，在某醫(yī)院隨機的對入院50人進行了問卷調查得到了如在的列聯(lián)表:已知在全部50人中隨機抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率為.

（Ⅰ）請將右面的列聯(lián)表補充完整；

患心肺疾病

不患心肺疾病

合計

男

5

女

10

合計

50

（Ⅱ）是否有99.5%的把握認為患心肺疾病與性別有關?說明你的理由；

（Ⅲ）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病.現(xiàn)在從患心肺疾病的10位女性中，選出3名進行其他方面的排查，記選出患胃病的女性人數(shù)為，求的分布列以及數(shù)學期望.

下面的臨界值表供參考:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（參考公式 其中）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知拋物線焦點為，直線經(jīng)過點且與拋物線相交于，兩點

（Ⅰ）若線段的中點在直線上，求直線的方程；

（Ⅱ）若線段，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某漁輪在航行中不幸遇險，發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁輪在方位角為45°，距離為10mile的C處，并測得漁輪正沿方位角為105°的方向，以mile/h的速度向某小島靠攏，我海軍艦艇立即向方位角為方向，以mile/h的速度前去營救，求艦艇與漁輪相遇時所需的最短時間和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】從2名男生和2名女生中任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動,每天一人,則星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率為(　　)

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，且，.四邊形ABCD滿足，，.E為側棱PB的中點，F為側棱PC上的任意一點.

(1)若F為PC的中點，求證:平面PAD；

(2)求證:平面平面PAB；

(3)是否存在點F，使得直線AF與平面PCD垂直?若存在，寫出證明過程并求出線段PF的長；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知直線l經(jīng)過點.

（1）若直線在兩坐標軸上的截距相等，求直線的方程；

（2）若，兩點到直線的距離相等，求直線的方程.

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