Question

【題目】設(shè)函數(shù)。

（Ⅰ）求證：函數(shù)有且只有一個極值點；

（Ⅱ）求函數(shù)的極值點的近似值，使得；

（Ⅲ）求證：對恒成立。

（參考數(shù)據(jù)：）。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）借助題設(shè)條件運用導(dǎo)數(shù)的知識推證；（Ⅱ）借助題設(shè)條件運用函數(shù)零點的定義推證；（Ⅲ）依據(jù)題設(shè)條件,借助（Ⅰ）的結(jié)論運用導(dǎo)數(shù)的知識求函數(shù)的最小值進(jìn)行推證。

試題解析：

（Ⅰ）由題意可知，函數(shù)的定義域為，且。

∵函數(shù)與均在上遞增，

∴在上遞增。

又∵在區(qū)間上的圖像是連續(xù)的，且，

∴在區(qū)間上至少有一個零點，記為，且在左右兩側(cè)的函數(shù)值異號。

綜上可知，函數(shù)有且只有一個變號零點。即函數(shù)有且只有一個極值點為。

（Ⅱ）∵，且在上的圖象連續(xù),，

∴的零點，即的極值點，即。

∴為的近似值可以取，此時的滿足。

（事實上，極值點的近似值的取值在區(qū)間內(nèi)都是可以的，只要說理充分即可。）

（Ⅲ）∵，且在上圖象連續(xù)，，

∴的零點。

的極值點。

由（Ⅰ）知，且的最小值為。

∵函數(shù)在上遞減，且，

∴。

∴對恒成立。