Question

【題目】已知函數(shù)。

（Ⅰ）若當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)時，在上的最大值為；當(dāng)時，在上的最大值為；當(dāng)時，在上的最大值為0。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）按照x與1進(jìn)行討論，分離常數(shù)得 ，令 ，去掉絕對值符號化簡解析式，由一次函數(shù)的性質(zhì)分別求出 的范圍，由恒成立問題求出的范圍，最后取并集；（Ⅱ）由題意求出，按照x與1、-1的關(guān)系去掉絕對值符號化簡解析式，由區(qū)間和對稱軸對進(jìn)行分類討論，分別由二次函數(shù)的性質(zhì)判斷出h（x）在區(qū)間上的單調(diào)性，并求出對應(yīng)的最大值。

試題解析：解：（1）不等式對恒成立，即()對恒成立，①當(dāng)時，（）顯然成立，此時；②當(dāng)時，()可變形為，令

因為當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，故此時。綜合①②，得所求實數(shù)的取值范圍是。

（2）因為=①當(dāng)時，結(jié)合圖形可知在上遞減，在上遞增，且，經(jīng)比較，此時在上的最大值為。

②當(dāng)時，結(jié)合圖形可知在，上遞減，在，上遞增，且，，經(jīng)比較，知此時在上的最大值為。

③當(dāng)時，結(jié)合圖形可知在，上遞減，在，上遞增，且，，經(jīng)比較，知此時 在上的最大值為。

④當(dāng)時，結(jié)合圖形可知在，上遞減，在，上遞增，且, ，經(jīng)比較，知此時 在上的最大值為。

當(dāng)時，結(jié)合圖形可知在上遞減，在上遞增，故此時 在上的最大值為。綜上所述，當(dāng)時，在上的最大值為；當(dāng)時， 在上的最大值為；當(dāng)時， 在上的最大值為0。