Question

已知圓O：x²+y²=r²，點(diǎn)P（a，b）（ab≠0）是圓O內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的圓O的最短弦在直線l₁上，直線l₂的方程為bx-ay=r²，那么（　　）

• A、l₁∥l₂且l₂與圓O相交
• B、l₁⊥l₂且l₂與圓O相切
• C、l₁∥l₂且l₂與圓O相離
• D、l₁⊥l₂且l₂與圓O相離

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：用點(diǎn)斜式求得直線l₁的方程，與直線l₂的方程的斜率對(duì)比可得l₁⊥l₂，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得圓心到直線l₂的距離大于半徑r，從而得到圓和直線l相離．推出選項(xiàng)．

解答： 解：由題意可得a²+b²＜r²，OM⊥m．
∵K_OP=

b

a

，∴l(xiāng)₁的斜率k₁=-

a

b

．
故直線l₁的方程為 y-b=-

a

b

（x-a），即 ax+by-（a²+b²）=0．
又直線l₂的方程為bx-ay=r²，k=

b

a

，故l₁⊥l₂，
圓心到直線l₂的距離為

|-r2|

a2+b2

＞

r2

r

=r，故圓和直線l₂相離．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，得到圓心到直線l的距離大于半徑 r，是解題的關(guān)鍵．