Question

【題目】已知函數(shù).（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）

（1）若，且在上是增函數(shù)，求的最小值；

（2）設，若對任意、恒有，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）最小值是；（2）.

【解析】

（1）將代入函數(shù)的解析式可得，求出導數(shù)，可得知函數(shù)在上為增函數(shù)，然后利用零點存在定理可知函數(shù)在區(qū)間在存在極小值點，從而得出函數(shù)在上單調(diào)遞增，由此可求出自然數(shù)的最小值；

（2）求出函數(shù)的導數(shù)，構造函數(shù)，可得出函數(shù)在上為增函數(shù)，由零點存在定理可知，存在，使得，可得出，分析函數(shù)的函數(shù)值符號可得出為函數(shù)的最小值點，并構造函數(shù)，可得出，由此可得出函數(shù)的最小值為，根據(jù)題意得出，從而求出實數(shù)的取值范圍.

（1）當時，，，

在上是增函數(shù)，且，，

所以存在，使得在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

因此，的最小值是；

（2），，

設，則在上是增函數(shù)，

且，，所以存在，使得，

所以時，，，是減函數(shù)；

時，，，是增函數(shù)，所以.

由得，設，則，

由在上是增函數(shù)，可得，，

所以，

所以的值域為，若對任意恒有，

則，即，所以的取值范圍是.