Question

（1）設(shè)函數(shù)f（x）=|x-

5

2

|+|x-a|，x∈R，若關(guān)于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的最大值；
（2）已知正數(shù)x，y，z滿足x+2y+3z=1，求

3

x

+

2

y

+

1

z

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式,絕對(duì)值不等式的解法

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由絕對(duì)值三角不等式可得 f（x）≥|a-

5

2

|，可得|a-

5

2

|≥a，由此解得a的范圍．
（2）運(yùn)用柯西不等式可得（x+2y+3z）（

3

x

+

2

y

+

1

z

）≥（

3

+2+

3

）²=16+8

3

，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由絕對(duì)值三角不等式可得 f（x）=|x-

5

2

|+|x-a|≥|（x-

5

2

）-（x-a）|=|a-

5

2

|，
再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，可得|a-

5

2

|≥a，
∴a-

5

2

≥a，或a-

5

2

≤-a，解得a≤

5

4

，故a的最大值為

5

4

．
（2）∵正數(shù)x，y，z滿足x+2y+3z=1，
∴由柯西不等式可得（x+2y+3z）（

3

x

+

2

y

+

1

z

）≥（

3

+2+

3

）²=16+8

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)x：y：z=3：

3

：1時(shí)，等號(hào)成立，
∴

3

x

+

2

y

+

1

z

的最小值為16+8

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，考查三元柯西不等式及應(yīng)用，考查基本的運(yùn)算能力，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化和分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．